示范教案( 平面向量共线的坐标表示)

2.3.3 平面向量的坐标运算

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

整体设计

教学分析

1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.

2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.

3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.

三维目标

1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.

2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.

3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.

重点难点

教学重点:平面向量的坐标运算.

教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？

推进新课

新知探究

提出问题

①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标

表示吗?

②如图1,已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1)的P 点吗?标出点P 后,你能总结出什么结论?

活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得

:

图1

a +

b =(x 1ｉ+y 1j )+(x 2ｉ+y 2j )=(x 1+x 2)ｉ+(y 1+y 2)j ,

即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).

同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).

又λa =λ(x 1ｉ+y 1j )=λx 1ｉ+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1).

教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A 与坐标原点O 重合,则平移后的B 点位置就是P 点.向量的坐标与以原点为始点,点P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.

由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:

||=|OP |=221221)()(y y x x -+-.

教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.

讨论结果:①能. ②=-=(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题

①如何用坐标表示两个共线向量?

②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2

211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),

即⎪⎩⎪⎨⎧==.

,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0.

这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.

又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2

211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2

211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.

讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.

②充分不必要条件.

提出问题

a 与非零向量

b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,

那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,

由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.

,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.

教师应向学生特别提醒感悟:

1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2

211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.

01221y x y x b a λ

应用示例

思路1

例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.

活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.

解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);

a -

b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);

3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).

点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.

变式训练

1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 2

3-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 答案:D

2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向

D.平行且反向