函数与映射课程 教案
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(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
综上可知，正确的判断是②③.
【总结与反思】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
复习预习
下列各组函数中，表示同一函数的是()
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝ ，g(x)＝( )2
C．f(x)＝ ，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝ · ，g(x)＝
(1)函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则 ＝0.
其中正确判断的序号是________．
【解析】
对于①，由于函数f(x)＝ 的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝ 的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于 ＝ － ＝0，所以 ＝f(0)＝1.
适用学科
高中数学
适用年级
高中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
函数的概念
函数的三要素（定义域、值域、对应法则）
区间的意义及表示
解析法
列表法
图象法
分段函数及其应用
映射的概念
教学目标
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
函数的基本概念
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．
类型一函数的基本概念
有以下判断：
①f(x)＝ 与g(x)＝ 表示同一函数；
函数f(x)＝ 的定义域为________．
【答案】[1，＋∞)
【解析】分段函数的定义域是各定义域的并集.
(1)函数f(x)＝ 的定义域为()
A．(－1,2)B．(－1,0)∪(0,2)C．(－1,0)D．(0,2)
(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝ 的定义域为________．
[答案]同解析
[解析](1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f；作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝ x.
【答案】（1）C（2）[ ，1)
【解析】(1)f(x)有意义，则 Baidu Nhomakorabea之得 ∴－1<x<0，
∴f(x)的定义域为(－1,0)．故选C
(2)要使函数g(x)＝ 有意义，
则必须有 ，
∴ ≤x<1，故函数g(x)的定义域为[ ，1)．
【总结与反思】
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学重点
运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学难点
运用函数图象理解和研究函数的性质.
【教学建议】
1.对映射概念的认识
(1) 与 是不同的，即A与B方向上是有序的.或者说：映射是有方向的，
(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
类型三映射
下列对应不是映射的是()
[答案]D
[解析]结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射．
【知识导图】
函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，在未来的高考中可以说的得函数者得天下.对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
（1）对函数符号 的理解知道 与 的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x是自变量， 是函数值，连接的纽带是法则 .
(2)注意定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
综上可知，正确的判断是②③.
【总结与反思】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
复习预习
下列各组函数中，表示同一函数的是()
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝ ，g(x)＝( )2
C．f(x)＝ ，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝ · ，g(x)＝
(1)函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则 ＝0.
其中正确判断的序号是________．
【解析】
对于①，由于函数f(x)＝ 的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝ 的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于 ＝ － ＝0，所以 ＝f(0)＝1.
适用学科
高中数学
适用年级
高中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
函数的概念
函数的三要素（定义域、值域、对应法则）
区间的意义及表示
解析法
列表法
图象法
分段函数及其应用
映射的概念
教学目标
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
函数的基本概念
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．
类型一函数的基本概念
有以下判断：
①f(x)＝ 与g(x)＝ 表示同一函数；
函数f(x)＝ 的定义域为________．
【答案】[1，＋∞)
【解析】分段函数的定义域是各定义域的并集.
(1)函数f(x)＝ 的定义域为()
A．(－1,2)B．(－1,0)∪(0,2)C．(－1,0)D．(0,2)
(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝ 的定义域为________．
[答案]同解析
[解析](1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f；作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝ x.
【答案】（1）C（2）[ ，1)
【解析】(1)f(x)有意义，则 Baidu Nhomakorabea之得 ∴－1<x<0，
∴f(x)的定义域为(－1,0)．故选C
(2)要使函数g(x)＝ 有意义，
则必须有 ，
∴ ≤x<1，故函数g(x)的定义域为[ ，1)．
【总结与反思】
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学重点
运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学难点
运用函数图象理解和研究函数的性质.
【教学建议】
1.对映射概念的认识
(1) 与 是不同的，即A与B方向上是有序的.或者说：映射是有方向的，
(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
类型三映射
下列对应不是映射的是()
[答案]D
[解析]结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射．
【知识导图】
函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，在未来的高考中可以说的得函数者得天下.对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
（1）对函数符号 的理解知道 与 的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x是自变量， 是函数值，连接的纽带是法则 .
(2)注意定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.