巧添辅助线,构造相似三角形模型讲义附答案

1、专项训练

【板块一】作平行线

1.在△ABC中，延长BC到D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC 于点E・

⑴求囂的值;

(2) ^AB=a. FB=EC,求 AC 的长•

2.己知直线/交△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点，且AD=BE・求证：

EF： FD=CA： CB.

3.如图：D. E、F三点分别在△ABC的三边BC、AC及BA延长线上，且D、

4F

E、F三点共线'BADC,求证：EC F B

FA

4.如图：在△磁中駕；等冷直线DE交延长线卄求諾

的

值.

5.如图，在△ABC中，E是BC边上一点,EC=2BE,点D是AC的中点，设△ABC、

△ADF、MEF的面积分别为 S"肚、SgF、S^REF，且S MBG I?,処I S AAM+S ABEC•

6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC. CH为A BCD的平分线，且CH丄AB于点乩

BH=3AH.若四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积.

【板块二】构造双垂直模型

7.如图，在直角坐标系中，直线y=-x^2^x轴，y轴分别交于A、B两点,

2

以AB为边在第二象限内作矩形ABCD.使AD=y}5.

(1)求点A、点B的坐标，并求边AB的长;

(2)求点C、D的坐标.

& 如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使04、OC分别落在X轴、y轴上，连接0B,将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在"的位置上.若OB=£ ,—-求点?V的坐标为_________________ •

9. 如图，在△ABC 中，AG 丄BC 于点G,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作 矩

形ABME 和矩形ACNF,射线G4交EF 于点H 若AB=kAE, AC=kAF. 试探究HE 打HF 之间的数量关系，并说明理山.

在直线i..x=\上是否存在一点P,使得△ABP 是一个直角三角形，若存

在, 求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由•

10.已知，如图, 直线A ；y=2x+4与坐标轴交于A 、B 两点•

(1) 求出点人、

(2)

A

O Zi：

y=2x+4

《相似辅助线》答案

(1)如图，过点C作CM//AB交DF于点M

7 CD=BC

BF BD 2 TF为AB

的中点，■ CM CM

CE

AF BF AE 2

.AE_ 2

AC 3

(2) llj AB=a.则

BF=CE=所以AE = 2CE

= d, AC = -a.

2 2

2.如图，过点D作

DN//BC交AB于点M

.CM CD CM CE

• DF _DN DN BC

EF BE

•：AD二BE

AD AC

• DF _DN

EF AD 疋 WE "G：CB.

AF AE

:•AF=BF

EC CG 易证△ CDG 竺BDF,则CG二BF,即证. 如图，过点B做

BH//AC交EF于点H

过D作DG//AE交BC于G

•••点 D 是 AC 中点，S UM =12

二点G是EC中点，S UBD=S皿D

3

.

如图，过点C作CGHAB交FD的延长线于G

5

.

yBH//AC.

•:

BH//AC.

•• A£_

1

*氏"3

•FC 9

.•-- =—

FB 5

如图

FC FC :-

HBFH S HCFE、:—

FB BH

:仏BDH SHADE, -

BH DB 5

• EC EC AE f 39

= 3x- = -

5 5

•丽一旋丽

• FB 5

.• - =—

BC 4

4.

AF

乂•:EC=2BE,二点 £是BG 中点

•:DG 〃EF,几点 F 是 BD 中点，•••$小财=$»”=3

• EC=2BE9 • • SwE =亍S MBC ・=4

• C =c _c =1 • c I c =4

• •。乂EP ~ *^A4/#F —八• •T Q^BEF _ *

6.如图，延长BA 交CD 的延长线于点E

TCH 为ZBAD 的平分线，CH 丄AB

•••BH=AH+AE, BH=3AH

X _ 1 2x

+ 42"9

（2）过C 引y 轴的垂线CE 交y 轴于点E,由双垂直可得：'AOB S 'BEC 、 则可以得到：竺=竺=竺=2,由此可得：BE=2, CE=1,所以C 点坐 BE CE BC 1 标为（-1, 4）,同理可得，D 点坐标为（-5, 2

）

•••△BCE 为等腰三角形，设S MDE ,则 5 肌.〃 =21+x

VBE) "9

7. (1) A (-4, 0)、B (0, 2) ,AB= 2^5

II

&如图,

过点/V 作X 轴的垂线交X 轴于点E,过点B 作y 轴的垂线交£4的延长线于点D 则^OE/V S ^AQB ,且相似比为1:2 设。—则旳如沖+—・•存罟 .\DE= — +2a=2

2

. 3

• 1 + « 4

5

9.

过点E 作EP 丄HG 交GH 的延长线于点P 、过点F 作FQ 丄HG 交HG 于点Q 7四边形ABME 和四边形ACNF 均为矩形

••• ZBAE=ZCAF=9Q^

•：HG 丄BC, •••Z4BG+ZB4G=90。，ZEAP+ZBAG=9Q^

/. ZABG=ZEAP.:・、ABGs 、EAP

同理△ACGs△用Q

HF FP

易证△EW0'则丽気八即

5.

3 亍-亍二点々的坐标为（・§

• AG AB , • = — = k , EP EA AG AC "Tx ••备笔即EPW