二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

来源：文都教育

在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。

一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析

通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为

12,λλ，则

1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e

C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x

x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；

证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=

212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，

令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx

λλλ'-=⇒

=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得

221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为

21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112

c C λλ=-，12C C 和为任意常数。 2）当12λλ=且为实数时，由（1）式得原方程的通解为2111221[]x x x y e c dx C y C e c xe λλλ=+==+⎰，即1212x x y C e C xe λλ=+；

3）当12,i λλαβ=±时，12λλ≠，由1）中结论知，原方程的通解形式也是

1212x x y C e C e λλ=+，但由于12λλ和都是复数，这个通解是复数，为了求出原方程的实数解，需要利用欧拉公式：cos sin i e i θ

θθ=+，由此得1()(cos sin )x i x x i x x e e e e e x i x λαβαβαββ+==⋅=+，同样有

2()(cos sin )x i x x e e e x i x λαβαββ-==-，于是

121212(cos sin )(cos sin )x x x x y C e C e C e x i x C e x i x λλααββββ=+=++-=

121212[()cos ()sin ](cos sin )x x e C C x i C C x e C x C x ααββββ=++-=+，其中取

12C C 和为互为共轭的复数，即11221211=(),=()22

C C iC C C iC -+，按习惯，上式通常写成形式12(cos sin )x y e C x C x αββ=+.

二、典型例题分析

例1、设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()y x = .

解：∵在0x =处()y x 取得极值3，且()y x 二阶可导，∴(0)3,(0)0y y '==；

微分方程的特征方程为 022=-+λλ，特征值为1,221=-=λλ，

原方程的通解为x x e C e C y 221+=-，

由0)0(,3)0(='=y y 得⎩⎨⎧=+-=+0

232121C C C C ，解得2,121==C C ，故x x e e y 22+=-. 注：本题是考研数学2015年数二（12）和数三（12）题。

例2. 求二阶微分方程为'''0y y y ++=的通解。

解：特征方程为210λλ++=，特征根为1,2122

λ=-±，

因此齐次微分方程的通解为212(cos sin )22

x

Y e C x C x -=+. 微分方程中最主要的考点是一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程，大家对它们的各种求解方法和通解公式及特解求法一定要熟练掌握，而三阶微分方程则仅对数一和数二的考生有些要求，但仅限于三阶常系数线性齐次微分方程。关于可降阶的高阶微分方程实际上也仅限于二阶微分方程。另外，对于变量可分离的微分方程和齐次微分方程大家也要掌握其求解方法。文都网校的蔡老师衷心地期望各位考生能学好考好、金榜题名。