材料力学中内力图的直接画法

材料力学中内力图的直接画法

摘要:介绍一种关于材料力学中轴力、扭矩、剪力和弯矩等内力图的直接画法，建立内力的增减与外力方向之间的关系。

关键词:内力图；直接画法；内力；外力。

画内力图是材料力学学习过程中的一个重点，而不少学生在学习这部分内容时感到不好理解，总是不清楚题目要求的截面上的内力应该怎么求。尤其是弯曲内力中的剪力与弯矩。为了使同学更好地理解构件的内力、画好内力图,经过摸索与思考，我总结出了关于内力图的一种简单的画法。本文中约定在各内力图中向上的方向为正向，画图时从左向右画。希望老师和同学予以指正。

1.轴力、扭矩图

轴力图完全可直接根据外力的大小与方向直接画出来。以水平杆为例，如杆左端有约束，首先求出约束力(外力)，向左的外力会引起轴力增加，而向右的外力会引起轴力减小。例如:图1中所示的杆的A、B、C、D点分别作用有大小为5P、8P、4P、P的力，方向如图1，试画出杆的轴力图。

解：用截面法求OA段内力N1设置截面如图1.

X=OV1-P A+P B-P C-P D=0

N

1-5P+8P-4P-P=0N

1

=2P

同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N

2=-3P,N

3

=5P,N

4

=P。轴力图如图1所示。

如果用直接法，只需要求出O截面的约束力R。由平衡方程R=2P，方向向左，

故O截面的轴力从0增加到2P。OA段无外力，轴力均为2P。A截面作用有外力P

A

=5P，方向向右，轴力在该截面将减小5P，即从2P降为-3P。AB段无外力，轴力均为-3P。B截面作用有外力8P，方向向左，该截面轴力将增加8P，即从-3P升到5P。ＢＣ段轴力为５Ｐ，Ｃ截面有外力４Ｐ，方向向右，轴力在该截面下降４Ｐ。ＣＤ段轴力为Ｐ，Ｄ截面有外力Ｐ，方向向右，该截面轴力下降Ｐ，最终为Ｏ轴力图终点与ｘ轴重合。

关于扭矩图中扭矩正负的规定，用直接法，将外力偶用右手螺旋法则进行矢量化，矢量沿轴线方向，一水平轴为例，向左的外力偶矩将引起扭矩的增加，向右的外力偶矩将引起扭矩下降，因此在直接法中，扭矩图的画法与轴力图的画法

完全一样。例如：已知图2中m

1=159kN.m，m

2

=m

3

=4.78kN.m，m

4

=6.37kN.m，画该

轴的扭矩图。

直接法：将各外力偶矩矢量化。A截面外力偶矩方向向右，大小为4.78kN.m，故扭矩在改截面下降4.78kN.m，即从0变为-4.78kN.m变为-9.56kN.m。ＢＣ段的

扭矩不变，Ｃ截面外力偶矩方向向左，大小为1.59kN.m，扭矩在该截面上升1.59kN.m，即从-9.56kN.m变为6.37kN.m，最终为零，图线与x轴重合（图2）。

2.剪力、弯矩图

在直接法中，规定向上的外力将引起其作用截面的右侧梁截面剪力的增加，向下的外力将引起其右侧梁截面剪力下降。

例：已知某外伸梁受力如图，试画出其剪力图（图3）。

直接法：首先求出A、D制作的约束力R

A =5qa/6R

D

=13qa/6

梁在A截面受的外力方向向上，大小为5qa/6，即该截面剪力将上升5qa/6，AB 段无外力，剪力均为5qa/6在B截面至D截面，梁受载荷集度为q的均布载荷的作用，方向向下，故该段梁剪力将减小，大小为该段梁外力的合力值2qa，所以D截面的剪力为5qa/6-2qa=-7qa/6，D截面作用有向外的外力RD，大小为13qa/6，故剪力在该截面将上升13qa/6为-7qa/6+13qa/6=qa，所以D截面的剪力为qa，在外伸段，梁受载荷集度为q的均匀载荷的作用，方向向下，故该段剪力将减小，大小为该段梁外力的合力值qa，梁在E截面的剪力为qa-qa=0，图线在该截面与

x轴重合。

弯矩图是内力图中最复杂的，也是最难画的。因为在前面约定画图时是从左向

右画，所以在直接法里面规定：如作用在梁上的外力是力偶矩，则外力偶矩转向是沿顺时针方向，将引起弯矩增加，反之下降；如梁上的外力是力，则外力在其右侧梁截面引起的弯矩的大小等于外力对该截面形心的矩，弯矩的正负由外力矩的转向确定，外力矩沿顺时针方向，弯矩取正，反之取负。以上面的外伸梁为例，

画其弯矩图如下：在AC段，梁只受R

A

=5qa/6的作用，因此在该断梁上外力引起

的弯矩为正，弯矩图为一斜直线，控制截面为B截面，B截面的弯矩为M

B

=5qa2/6，B截面有集中外力偶矩的作用，其转向沿逆时针方向，大小为qa2，故弯矩在该

截面将下降qa2，M

B =5qa2/6-qa2=-qa2/6，在AD段梁所受外力有R

A

=5qa/6，M=qa2，

沿逆时针方向，以及q，所以R

A

在CB段各截面引起弯矩为正，q引起的弯矩为

负，而M在B截面引起弯矩下降qa2，BD段控制截面有C和D截面，M

=5qa/6

C

=5qa/6(3a-qa2-q(2a)2/2=-0.5qa2，q向下，11a/6-qa2-q(5a/6)2/2=13qa2/72，M

D

弯矩图呈凸形，弯矩值由D截面的-0.5qa2变为E截面的0，弯矩图如前所示。3结论

1)按照从左向右的画图顺序，对于轴力图和扭矩图，向左的外力与外力偶矩将引起构件在作用截面轴力与扭矩增加，向右的外力与外力偶矩将引起构件在作用截面轴力与扭矩减小，增减量等于该外力(外力偶矩)的大小。

2)向上的外力将引起梁在外力作用截面的剪力增加，同时在其右侧梁截面引起弯矩增加，向下的外力将引起梁在外力作用截面的剪力减小，同时在其右侧梁截面引起弯矩减小，顺时针转向的外力偶矩将引起作用截面的弯矩增减，逆时针转向的外力偶矩将引起作用截面的弯矩减小，增减量等于该外力(外力偶矩)的大小。