线性代数模拟

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一 、填空题：（每题3分，共18分）

1．设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为 ________。

2．设3

214214314324

321=

D ，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则

43332313 4＋ 3＋ 2A A A A +＝________。

3.已知⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12644321X ， 则=X ________。 4．已知3阶方阵A 的行列式2=A ，则=-13A _______。 5.设21γ,γβ,α,是3维列向量，12(),()γ==12A α,2,3γB β,γ,γ，且

2,18==B A 则=-B A _______。

6．把二次型322

2

21214108x x x x x x f +++=的矩阵表示为_______。

二 、单项选择题：（每题3分，共15分）

1．设A ，B 是ｎ阶方阵，且0AB =，则（ ）

（Ａ）0A = (B) 0B = (C) B A ,至少有一个为零 （D ）

B A ,都不为零

2．设A ，B ，C 是ｎ阶方阵，且CA AC BA,AB ==，则ABC ＝（ ）

(A) ACB (B) CBA (C) BCA (D) CAB 3．若n 21α,,α,α 线性相关，则向量组中（ ）

（A ）至少一个向量可由其余向量线性表示。（B ）至多一个向量可由其余向量线性表示。（C ）没有一个向量可由其余向量线性表示。（D ）任何一个向量可由其余向量线性表示。 4．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =有非零解的充

分必要条件为（ ）

（A ）A 的列向量组线性无关；（B ）A 的列向量组线性相关；

（C ）A 的行向量组线性无关；（D ）A 的行向量组线性无关。

5．设方阵A 与方阵B 等价，则有（ ）

（Ａ）B A = (B) B A ≠ (C) 0>B A （D ）0=B ，则

0=A

三 、计算题：

1．（8分）计算行列式：

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1

7110

251020214214

=

D

2．（8分）设⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=-5140220011A ，求*A 。 3

．

（

8分）求

向

量

组

)7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(---=---==321ααα的一个最大线性

无关向量组。

4．（12分）已知⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且满足关系式AB 2B A =+，求矩阵B 。

5．（14分）λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=+-=++-2

321

3213212222λλλ

x x x x x x x x x 有惟

一解，无解或有无穷多解？在无穷多解时求其通解。

6．（10分）求矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=533312321A 的特征值和特征向量，并问其特征向量是否两两正交。

7．证明：设λ是矩阵A 的特征值，若A 可逆，则（1）0≠λ；（2）1-λ是1-A 的特征值。

重庆大学线代(II)课程试题A 卷（2004.4） 一 、填空题：（每题3分，共18分）

1．已知方程

01

1

111

1

11

11

1

1111=------x ，则其根为 ________。

2．A 是任意阶方阵。若E A A =T ，则 =A ________。

3.若n 阶方阵A 的秩1)(-

4．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是_______。

5.使二次型32312

322212

13212245),,(x x x x ax x x x x x x x f --+++=正

定的a 的值为_______。

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2

6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 123122－

与⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321相似，则 =x _______。 二 、单项选择题：（每题3分，共21分）

1．设A 是ｎ阶方阵，B 是A 经过有限次初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）

（Ａ）B A = (B) B A ≠ (C) 若0>A ，则一定有0>B （D ）若0=A ，则0=B

2．设A 是4阶方阵，且A ＝－3，则A A ＝（ ）

(A) 9 (B) 53 (C) －53 (D) 1

3．若A 是ｎ阶方阵，且0A =3，则矩阵1)(--A E ＝（ ）

（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++（C ）2A A E -+（D ）

2A A E --。

4．设矩阵A 与矩阵B 等价，A 有一个r 阶子式不等于零，则矩阵B 的秩（ ）

（A ）小于r ；（B ）等于r ；（C ）大于等于r ；（D ）小于等于r 。

5．若向量组21,αα

线性无关，则有（ ）

（Ａ）21αα +线性无关 (B) 21αα

-线性相关(C) 1αk 线性无关

（k 为任意实数）（D ）1αk 线性相关（k 为任意实数） 6．ｎ阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与一个对角阵相似的

（ ）

（A ）充分必要条件；（B ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）既非充分也非必要条件。

7．设21,αα 是线性方程组b x

=A 的解，则（ ）

（A ）21αα

+是0 =x A 的解；（B ）21αα -是b x

=A 的解；

（C ）21αα

l k +是0

=x A 的解（1=+l k ）；（D ）21αα l k +是

b x

=A 的解（1=+l k ）。

三 、计算题（共48分）

1．（12分）验证：)1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(321===ααα

是3维向量空间3

R 的一组基，并求向量)0,0,2(=β

在该基下的坐标。 2．（12分）求解矩阵方程2X A AX +=，其中