神奇的莫比乌斯带编写说明及教学建议

《神奇的莫比乌斯带》编写说明及教学建议

学习目标

1．动手操作，验证交流，经历探索和认识莫比乌斯带的过程，积累数学活动经验。

2．在动手操作、对比探索中认识莫比乌斯带，学会将长方形纸条制作成莫比乌斯带，初步体会莫比乌斯带的特征。

3．在数学活动中经历猜想与探索的过程，感受莫比乌斯带魔术般的神奇变化，感受数学的无穷魅力，进一步激发学生学习数学的兴趣和好奇心。

建议课时数：1课时。教师在理解教科书意图的基础上，可以根据学生的实际情况对课时进行适当调整。

编写说明

莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的，即：把一根纸条一头扭转180°后，两头再粘接起来做成纸环，这个纸环具有魔术般的性质。一般常见的纸环具有内侧的面和外侧的面两个面（即双侧曲面），两个面可以分别涂成不同的颜色。而这样的纸环只有一个面（即单侧曲面），沿着面涂颜色最后涂成的是一种颜色。这样的神奇的单面纸环后来就用数学家莫比乌斯的姓命名为“莫比乌斯带”，也叫“莫比乌斯圈”。“莫比乌斯带”虽然属于“拓扑学”的内容，但这个内容是一个激发学生学习兴趣、拓展数学视野的好题材，对学生来说具有可操作性、趣味性和挑战性等特点，因此教科书将此内容安排为“数学好玩”的内容，目的是让学生通过数学活动，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发好奇心和学习数学的兴趣。当然，对于小学生来说，主要是让学生通过数学活动初步认识和体会其特征，体会数学的无穷魅力，不需要掌握双侧曲面、单侧曲面等知识。

“莫比乌斯带”有很多有趣的、奇妙的特征，如“只有一个面”“只有一条边”“沿中间线剪开后不是两个纸环，而是一个大的纸环”等，会给学生的思维带来一定的冲击（如，明明原来是两个面，怎么会变成一个面了呢），学生会感觉到有点难以理解和有点“神奇”。为了帮助学生认识“莫比乌斯带”并体会其特征，教科书采用让学生用一般常见的纸环与“莫比乌斯带”比较的办法，设计了一系列操作实践活动，让学生在活动中观察、猜测、比较、验证、思考、发现，直观感受“莫比乌斯带”的神奇，领略数学的魅力，拓展数学思维。

?一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过圆环的边缘，它能吃到面包屑吗？

这个活动是让学生了解一般的纸环都有两个面。为了让学生在比较中认识“莫比乌斯带”，教科书先让学生了解一般的纸环的特点，让学生观察、思考，发现“在这样的纸环上，蚂蚁不爬过纸环的边缘，无法吃到面包屑”，因为“面包屑在里面，蚂蚁在外面”，即这样的纸、环有两个面。

?做一做，想一想。先用一张长方形纸条如左下图那样扭一下，再把两端粘上，得到如右下图的纸环。在这个纸环上作个标记表示面包屑，想一想，小蚂蚁从点A出发能吃到面包屑吗？

这个活动是让学生学习制作“莫比乌斯带”，并初步体会莫比乌斯带的特征。教科书中，首先是让学生用长方形纸条制作“莫比乌斯带”，对于“纸条一头扭一下，再接起来”的过程教师可以作一定的指导、示范。制作完成后，让学生进一步猜测、操作、探索、体验特征，让学生发现“不管面包屑在什么地方，蚂蚁顺着面爬就能吃到，也就是不必爬过边缘就能吃到”，初步感受真是一个“神奇的纸环”。

?分别在普通纸环和“神奇的纸环”上各取一点。从这点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，你发现了什么？

这个活动是让学生在对比中进一步体会“这个神奇的纸环只有一个面”的特征，涂色活动是让学生体验特征的一种简便可行的方式。教科书继续采用一般的纸环和神奇的纸环比较的方式，让学生分别给两个纸环涂颜色，发现一般的纸环涂到只有一面的颜色（另外一面涂不到），而神奇的纸环无论从哪里开始涂都是把所有的地方都涂到了，从而体会神奇的纸环实际上“只有一个面”。

?再取两张长方形纸条，每张长方形纸条中间画一条虚线（如图），再分别做成一个普通纸环和一个“神奇的纸环”。用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你又发现了什么？

这个活动是让学生继续开展研究活动．，在对比中发现“莫比乌斯带”“沿中间的一条线剪开后，成了一个大的纸环”等特征，进一步体会莫比乌斯带的神奇，并揭示莫比乌斯带的名称和来历。

教科书首先设计了一个对比活动，让学生分别将一个一般的纸环和一个神奇的纸环沿中间的一条线剪开，发现一般的纸环变成了两个窄一点的纸环，但神奇的纸环却没有分成两个圈，而变成了一个窄一点的大的纸环（注意这个大的纸环已不是莫比乌斯带了），让学生进一步体会莫比乌斯带的神奇之处。在学生充分活动体验的基础上，揭示莫比乌斯带的名称和来历：是由数学家莫比乌斯发现的，并用他的姓来命名的。

最后，教科书引导学生进一步研究莫比乌斯带，会发现更多有趣的奇妙的现象和规律：激发学生学习兴趣。如可以制作一个莫比乌斯带，画两条线平分成三份，沿线剪开，可以发现“剪开后是两个套在一起的纸环，其中一个是窄一点的大的纸环（不是莫比乌斯带），另一个窄一点的小的纸环（这个仍是莫比乌斯带，是原来分成三份中的中间部分形成的）。如果平分成四份，可以发现“剪开后，是两个大的套在一起的纸环（都不是莫比乌斯带）等等，莫比乌斯带还有很多奇妙的特征。

教学建议

课前，教师要准备好或让学生准备好一些学习材料：每位学生若干张纸条（一般6条左右），剪刀，固体胶（胶带纸）、水彩笔等，以在开展活动时使用。

本节学习内容的展开方式，我们有两种建议。第一，对于自主学习能力较强的班级，教师可以把学习任务直接交给学生，即由学生根据教科书的问题串，直接通过小组合作的方式探索任务的结果。第二，对于自主学习能力一般的班级，建议参考如下活动建议。

活动可以让每个学生独立开展操作活动，也可以同桌两人为一组进行。