重力模型的简介

修正重力模型
1. 乌尔希斯重力模型
qij = Oi Dj f (cij ) /
∑D f (c )
j ij j
f (cij ) 为交通阻抗函数, 一般形式： (c ,
− f (cij ) = cijγ
根据现状OD调查资料拟和确定，一般可采用 调查资料拟和确定， 待定系数 γ 根据现状 调查资料拟和确定 试算法等数值方式，以某一指标作为控制目标， 试算法等数值方式，以某一指标作为控制目标，通过用模 型计算和实际调查所得指标的误差比较确定。 型计算和实际调查所得指标的误差比较确定。γ 的计算过 程如下： 程如下：
tij = 0.124×
(Oi Dj )1.173 c1.455 ij
(2) 第一次计算得到的OD表
O/D 1 2 3 1 88.862 75.542 18.791 183.195 2 72.458 237.912 43.932 354.302 3 18.940 46.164 76.048 141.152 合计 180.260 359.619 138.771 678.650
ij j j j j ij j j ij j j
tij =
aiOi Dj f (cij )
∑a O f (c )
i i ij i
∑tij = ∑(
i i
aiOi Dj f (cij )
∑ai Oi f (cij )
i
) = Dj
∑a O f (c ) =D ∑a O f (c )
i i ij i i i ij i
f (cij ) = e
−γ ij −cij
f (cij ) = k ⋅ cij ⋅ e
γ
−cij
kγ
为参数，根据现状 调查资料， 为参数，根据现状OD调查资料，利用最小二乘法 调查资料 确定。 确定。
中表3和表 给出的现状OD表和将来发生与吸引交通 例：按例3中表 和表 给出的现状 按例 中表 和表4给出的现状 表和将来发生与吸引交通 量，以及表5和表 给出的现状和将来行驶时间，试利用重力模 以及表 和表6给出的现状和将来行驶时间， 和表 给出的现状和将来行驶时间 型和平均增长系数法，求出将来OD表。设定收敛标准为 ε =1% 型和平均增长系数法，求出将来 表
) x2
采用最小二乘法对这9个样本数据进行标定， 采用最小二乘法对这 个样本数据进行标定，得出 个样本数据进行标定
a0 =-2.084
a1 =1.173
a2 =-1.455
y = −2.084 +1.173x1 −1.455x2
α = 0.124 β = 1.173
标定的重力模型为
γ = 1.455
先假定一个 γ 值，利用现状OD统计资料所得的 O ， j 以及 cij 代入 i D 模型中进行计算，所得出的计算交通分布称为GM分布。GM分布的 平均行程时间采用下式计算：
c' =
∑∑(q c ) ∑∑q
ij ij i j i j
ij
GM分布与现状分布的每次运行的平均行程时间之间的相对误差为 c' − c c 。当交通按GM分布与按实际分布每次运行的平均相对误 差不大于某一限定值（常用3%）时，计算即可结束；当误差超过限 定值时需改动待定系数 γ ，进行下一轮计算。调整方法为：如果 GM分布的 c' 大于现状分布 c ，可增大 γ 值；反之，则减小 γ 值。
1 0 FO2 = U2 / O2 = 91.9 / 359.619 = 0.2555 FD2 = V2 / D2 = 90.3 / 354.302 = 0.2549
1 FO3 = U3 / O3 = 36.0 / 138.771= 0.2594
0 FD3 = V3 / D3 = 36.9 / 141.152 = 0.2614
2. 美国公路局重力模型（B.P.R.模型）
qij = Oi Dj f (cij )Kij
∑D f (c )K
j ij j
ij
式中， Kij 为调整系数(也叫地域间结合度)，其计算公式为：
Kij = (1−Yij )λij 1−Yijλij
其中， λij 表示i小区到j小区的实际分布交通量与计算分布交通量之 比； Y 表示i小区到j小区的实际分布交通量与i小区的出行发生量 ij 之比。
Kij 的计算方法为：
首先令 Kij =1，根据现状OD表标定模型，计算 将现状数据代入模型，计算出OD分布。 根据上面的公式计算 Kij 。
γ。
假定 Kij 的值在将来不发生变化，预测时不做任何修改而 直接使用。
标定
γ 的方法与乌尔希斯重力模型 相同。
O 这两种模型均能满足出行产生约束条件，即： i = 此都称为单约束重力模型。
重力模型
重力模型法 （Gravity Method） ）
模拟物理学中的牛顿的万有引力定律 模拟物理学中的牛顿的万有引力定律
基本假定：交通区 到交通区 到交通区j的交通分布量 基本假定：交通区i到交通区 的交通分布量 与交通区i的交通量 交通区j的交通吸引量 的交通量、 与交通区 的交通量、交通区 的交通吸引量 成正比，与交通区i和 之间的交通阻抗参数 成正比，与交通区 和j之间的交通阻抗参数 如两区中心间交通的距离、 ，如两区中心间交通的距离、时间或费用 等成反比。 等成反比。
j
− 以幂指数交通阻抗函数 f (cij ) = cijγ 为例介绍其计算方法：
第1步：令m=0，m为迭代次数； 第2步：给出
γ
（可以用最小二乘法求出）；
bm = 1/ j
第3步：令 a = 1，求出 bm ( j
m i
∑
i
− aimO cijγ i
)；
第4步：求出 a
aim+1 = 1/
tij = α
两边取对数， 两边取对数，得
(Oi Dj )β
γ cij
ln tij = ln α + β ln( Oi Dj ) −γ ln( cij )
tij Oi Dj cij 已知数据 α β γ 待标定参数
令：
y = ln tij
a0 = lnα
a1 = β
a2 = −γ
x1 = ln(Oi D j )
增长系数
0.9526
1.0145
1.0182
用平均增长系数法第三次迭代计算OD表 表 用平均增长系数法第三次迭代计算
O/D 1 2 3 1 17.823 17.127 4.276 2 16.684 62.318 11.544 3 4.438 12.291 20.310
合计 38.946 91.736 36.130
合计
（3）通过无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代，这里采用平均 1 1 增长系数法进行迭代计算。重新计算 FOi 和 FDj
1 FO1 = U1 / O = 38.6 / 180.260 = 0.2141 1
1 FD1 = V1 / D1 = 39.3 / 183.195 = 0.2145
则：
x2 = ln(cij )
y = a0 + a1x1 + a2 x2 a0,a1,a2为待定系数
通过表3和表 获取 通过表 和表5获取 个样本数据 和表 获取9个样本数据
样本点 i=1,j=1 i=1,j=2 i=1,j=3 i=2,j=1 i=2,j=2 i=2,j=3 i=3,j=1 i=3,j=2 i=3,j=3
ln(Oi D j )
6.6644 7.2442 6.6280 7.2640 7.8438 7.2277 6.5903 7.1701 6.5539
x1)
(
28 28 28 51 51 51 26 26 26
28 50 27 28 50 27 28 50 27
ln(c ij )
1.9459 2.8332 3.0910 2.8332 2.7081 3.1355 3.0910 3.1355 1.9459
Ui为表4最后一列的值；Vj为表4最后一行的值 Oi为每次计算得到的OD表每一行的合计值； Dj为每次计算得到的OD表 每一列的合计值
1 0 0 0 qij = qij *(FOi + FDj ) / 2
计算结果如下面表所示
用平均增长系数法第一次迭代计算OD表 用平均增长系数法第一次迭代计算 表
O/D 1 2 3 合计 1 19.046 17.755 4.453 41.254 2 16.992 60.717 11.297 89.005 3 4.504 11.933 19.804 36.241 合计 40.541 90.405 35.554 166.500 增长系数 0.9521 1.0165 1.0125
增长系数 0.9911 1.0018 0.9964
合计
39.226
90Fra Baidu bibliotek546
37.040
166.812
增长系数
1.0019
0.9973
0.9962
重力计算步骤
调查资料， （1）根据现状OD调查资料，利用最小二乘法确定参数，将确 根据现状 调查资料 利用最小二乘法确定参数， 定的参数代入模型，得到标定的重力模型——参数标定。（还有 参数标定。（ 定的参数代入模型，得到标定的重力模型 参数标定。（还有 很多其他参数标定的方法）。 很多其他参数标定的方法）。 利用标定的重力模型计算得到ＯＤ表 标定的重力模型计算得到ＯＤ （2）利用标定的重力模型计算得到ＯＤ表。 无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的 （3）无约束重力模型计算得到的 表不满足出行分布的 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代。（例如： 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代 （例如：增长系 数法等） 数法等） 迭代完成后得到最终的ＯＤ ＯＤ表 （4）迭代完成后得到最终的ＯＤ表。
表3 现状OD表（单位：万次）
O/D 1 2 3 合计
表4 将来的发生与吸引交通量
O/D 1 2 3 合计
1
17.0
7.0
4.0
28.0
1
38.6
2
7.0
38.0
6.0
51.0
2
91.9
3
4.0
5.0
17.0
26.0
3
36.0
合计
28.0
50.0
27.0
105.0
合计
39.3
90.3
36.9
166.5
qij
17 7 4 7 38 6 4 5 17
Oi = ∑qij Dj = ∑qij
j
i
Oi ⋅ D j
784 1400 756 1428 2550 1377 728 1300 702
c ij
7 17 22 17 15 23 22 23 7
（ ）
y
(
ln(qij )
2.8332 1.9459 1.3863 1.9459 3.6376 1.7918 1.3863 1.6094 2.8332
表5
现状行驶时间
1 7.0 17.0 22.0 2 17.0 15.0 23.0 3 22.0 23.0 7.0
表6
将来行驶时间
1 4.0 9.0 11.0 2 9.0 8.0 12.0 3 11.0 12.0 4.0
cij
1 2 3
cij
1 2 3
解：（1）用下面的无约束重力模型： ：（ ）用下面的无约束重力模型：
−1
bj = ∑ai Oi f (cij ) i
−1
tij =
bjOi Dj f (cij )
∑b D f (c )
j j ij j
j j ij j i j ij j i i
∑b D f (c ) b O D f (c ) ∑t = ∑( b D f (c )) = O b D f (c ) = O ∑ ∑
∑q
j
ij
，因
用上述两种重力模型进行交通分布预测时，首先是将预测的 交通产生量和吸引量以及将来的交通阻抗参数带入模型进行 计算。通常计算出的交通吸引量与给定的交通吸引量并不相 同，因此需要进行进一步迭代计算。
双约束重力模型
为如下形式： 为如下形式：
tij = aiOibj Dj f (cij )
ai = ∑bj Dj f (cij ) j
模型本身不满足交 通守恒约束条件： 通守恒约束条件：
改进的重力模型可表示为： 改进的重力模型可表示为：
α qij = kOi Dβ f (cij ) j
常见的交通阻抗函数有以下几种形式： 常见的交通阻抗函数有以下几种形式：
幂函数： 幂函数： 指数函数： 指数函数： 组合函数： 组合函数：
f (cij ) = c
无约束重力模型
Casey在1955年提出了如下重力模型，该模型也是最早出现的 重力模型： P Pj i ij d2
q =α
ij
P Pj 分别表示i小区和j小区的人口(用出行人数代替了总人数) 分别表示i小区和j小区的人口(用出行人数代替了总人数) i
α
dij
表示i，j小区之间的距离 (用出行费用函数 f (cij ) 来表示) 表示参数