正交矩阵及其性质

按列分块为[a1,a2,...,an],
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于是
ATAa aM 12T Ta1,a2,L,ana a12T TM a a1 1
a1Ta2 a2Ta2
M
L L O
a a12T Ta an n
M
anT
an Ta1 an Ta2 L an Tan
因此ATA=I的充分必要条件是
aiTai (ai,ai)1, i1,2,,n; 且 aiTaj (ai,aj)0, ji, i, j1,2,,n.
即A的向量 {a1组 ,a2,,an}
为Rn的一组标准. 正交基
此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
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定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
|A X ||A Y | |X ||Y |
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
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a1
(1 3
,
2 3
,
2) 3
a2 (0,
1 ,2
1) 2
求三维向量a 使得矩阵 (a1,a2,a) 为正交矩阵
解 a(x, y,z)T a1,a2,a 是标准正交组
a 1a 0 a 2a 0
a 1
1
3
(x
2
y
2 z)
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
x m 4 yz 1
4.3 正交矩阵及其性质
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定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.
证设
a11 a12 L a1n
A aM21
a22 M
L O
aM2n
an1 an2 L ann
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也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
(AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|,
{AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 c o sA X ,A Y (A X ,A Y )(X ,Y ) c o sX ,Y ,
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定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
A是正交矩阵 AT A-1
A T 是正交矩阵
பைடு நூலகம்
c
c
方阵A的列向量构成 标准正交组
方阵A的行向量构成 标准正交组
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例 现有标准正交组
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
18
18
a(- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
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定义 若A为正交矩阵，则线性变换 YAX
y1
a11x1 L LLL
a1nxn
ym am1x1 L amnxn
n
或 yi a ij x j i1,L,m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。