材料力学切应力计算

第四章 弹性杆横截面上的切应力分析

§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力

梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有切应力 τ。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1．矩形截面梁

对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致。由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。又因截面高度h 大于宽度b ，切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：

1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。

2）切应力沿截面宽度均匀分布。

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够

的精确度。从图4-16a 的横弯

梁中截出dx 微段，其左右截面

上的内力如图4-16b 所示。梁

的横截面尺寸如图4-16c 所示，

现欲求距中性轴z 为y 的横线

1aa 处的切应力 τ。过1aa 用

平行于中性层的纵截面

11cc aa 自dx 微段中截出一微

块（图4-16d ）。根据切应力成

对定理，微块的纵截面上存在

均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中

*1I 1**z z A z A S I M dA I My dA N ==

=⎰⎰σ （4-29） *1II 2)()(**

z z A z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+==⎰⎰σ (4-30) 图4-16

图4-15

式中，*A 为微块的侧面面积，)(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力，⎰=

*

1*A z dA y S 。 由微块沿x 方向的平衡条件∑=0x ，得

021='-+-dx b N N τ （4-31）

将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得

故 z z bI S dx dM *='τ 因ττ='=,Q F dx

dM ，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力τ为 z z

Q bI S F *=τ （4-32）

式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q F 为截面上的剪力； z I 为整个截面

对中性轴z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度；*y S 为面积*A 对中性轴的静矩。

对于矩形截面梁（图4-17），可取1bdy dA =，于是

这样，式（4-32）可写成

)4

(222

y h I F z Q -=τ 上式表明，沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化（图

4-17）。

在截面上、下边缘处，y=±

2

h ,τ=0；在中性轴上，y=0，切应力值最大，其值为 A

F Q 23max =τ （4-33） 式中A =bh ,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的

2

3倍。 2．圆形截面梁

在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线aa 1两

端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y 轴上的c 点。因

此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应

力的方向皆平行于剪力F Q ，设为均匀分布，其值为最大。由式

（4-32）求得

A Q 34max =τ （4-34） 图4-18

图4-17

式中24d A π=，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的34倍。 3．工字形截面梁

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其值为

Z z Q dI S F max max )(*=

τ 式中（S *z ）m ax 为中性轴一侧截面面积对中性轴

的静矩。对于轧制的工字钢，式中的

max

*)(z z S I 可以从型钢表中查得。 计算结果表明，腹板承担的剪力约为

（0.95~0.97）F Q ，因此也可用下式计算τ

m ax 的近似值

式中h 1为腹板的高度，d 为腹板的宽度。

图4-19