图形的测量

图形的测量

——图形求积的探索与应用

本专题要解决的关键问题

1.如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。

2.如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法

的多样性。

3.如何以图形的测量为载体，培养学生的推理能力。

其实对于图形，人们往往首先关注它的大小。一般地说，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的大小是可以度量的，而度量的实际操作就是测量。新课程标准对于图形测量（求积）的内容提出了具体的要求，要让学生掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测。

同时，课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。

一、如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。以圆为例

圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，对它的周长以及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑战性，需要学生经历分析圆的半径与周长关系的过程，并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。这个过程有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，体会“转化”和“极限”的思想。

转化思想的渗透：

如：在探索圆的周长与直径的关系的过程中，让学生经历圆周长的测量过程。（课件演示）测量方法一：用圆片在直尺上滚动，测量长度；测量方法二：用线绕圆片一周，把线拉直然后测量线的长度。这样既积累了测量的经验，又可以渗

透化曲为直的转化思想。

再如：在圆的面积公式的推导过程中，引导学生将圆转化成已学过的长方形，三角形、梯形等图形，利用旧图形的面积公式推导圆的面积公式。让学生充分感受转化的数学思想。(课件演示)

极限思想的渗透：

如：在圆的周长教学中，向学生介绍“割圆术”，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感极限思想。

可以设计用小棒摆一个正三角形、正四边形、正六边形、正八边形、……

…

让学生认真观察，说说你的想法。

还可以借助电脑体会割圆的过程：

让学生从感官上体会“割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”从而感受极限的数学思想。

函数思想的渗透：

在统计测量数据、填表、观察、发现周长与直径的关系的过程中，让学生体验直径变，圆的大小变，周长也随之变化，而它们的倍数关系不变，从而感受函数思想。

实验次数周长直径周长与直径的关系

第一次

第二次

第三次

……

微积分思想的渗透：

在圆柱体体积公式的推导过程中，可以引导学生把圆柱体看成是相同大小的圆堆积而成，从而推导出圆柱体的体积公式。向学生渗透微积分思想。（课件演示）

数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核

心，是处理数学问题的指导思想和基本策略。它伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解，而数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。学生只有在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，才能逐步感悟数学思想方法。

二、如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问

题方法的多样性

估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。

估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，还要求“探索不规则图形的周长、面积、体积”。通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想。

案例:测量不规则图形的面积

图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。

如图一:

教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合,最后累加起来,用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。但是这种估算不规则图形面积的方法并没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。充分体现该题的数学教育价值。

教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边观察边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决

这个问题吗？”教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。

如图二：

(图二)

在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。

教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。

如图三: