线性回归与曲线拟合
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第6章 线性回归与曲线拟合
1
线性回归
• y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变 量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出 来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究 随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系 存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组 分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲 线，浓度与吸光度间的关系。
• 求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小 ，简称最小二乘法。
2
6.1 散点图
•
要研究两个变量之间是否存在相关关系，自然要先作实验，拥有一批实验数
据，然后，作散点图，以便直观地观察两个变量之间的关系。
•
合成纤维强度与拉伸倍数的关系，24组实验。
3
某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
编号 拉伸倍数
x
1
1.9
2
2
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2.1
4
2.5
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2.7
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2.7
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3.5
8
3.5
9
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4
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4.5
12
4.6
强度 y
kgf/cm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
编号 拉伸倍数
x
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5.2
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6.3
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6.5
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7.1
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8.9
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9.5
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强度 y
kgf/cm2 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
4
强度y
10 8 6 4 2 0 0
5
10
拉伸倍数x
15
5
从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：
Y=a+bx Y 是 y 的计算值，与实际值不完全相同。 Y 与 x 之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。 确定回归方程 Y=a+bx 中的回归系数 a、b。 y 随 x 增大，称为正相关； y 随 x 减小，称为负相关。
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
6
强度y
10 8 6 4 2 0
0
5
10
15
拉伸倍数x
7
6.2 回归方程的相关系数
• 因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
8
6.3 曲线拟合
• 在化工实验数据处理中，我们经常会遇到这样 的问题，即已知两个变量之间存在着函数关系， 但是，不能从理论上推出公式的形式，要我们建 立一个经验公式来表达这两个变量之间的函数关 系。
• 二元溶液的溶解热与浓度的函数关系 • 反应物的浓度与反应时间的函数关系 • 做散点图，选经验方程，曲线变直，相关系数
对比，求出常数
10
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，
试作出其经验方程。
浓度随时间的变化关系
时间
2
5
8 11 14 17 27 31
t(min)
浓度 cA 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 (mol/L)
35 0.391
Ⅰ、首先将实验数据 t~cA 作图，图像表明，这是一条曲线，不是 y=a+bx 型直线，因此，对照样板曲线重新选型。
11
c（mol/L）
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
c, t关系图
10
20
30
40
t（min）
系列1
12
Ⅱ、选 y 1 型试探，将曲线变直，这时
ax b
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
1/cA~ t 数表
T
2
5
8
11
14
1/cA
1.005 1.018
1.28
1.335 1.445
17 1.568
27 2.028
31 2.273
35 2.507
1/c
1/c， t 关系图
3 2.5
2
1.5
系列1
1
0.5 0
0
10
20
30
40
t
13
Ⅲ、再选用 y=axb 型作试探，将此曲线变直
y=lncA 算得：
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
2.84
2.64
lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
3.434 -0.821
3.555 -0.939
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
-1
lnc， lnt 关系图
1
2
3
4
lnt
系列1
作 lnc ~lnt 的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这 14 个类型的经验公式更不适合了。
Ⅳ、又重新选型，选用 y=aebx 型，再试探
y=lncA
x=t
lnc， t 关系图
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
-1
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型经验方程。
对照一级反应动力学的积分式：
c=cA0e-kt
15
说明我们所作的结果，事实上证明了这个液相反应是一级反应，
a 相当于反应物 A 的初始浓度 cA0。 b 相当于反应速率常数 k。
感谢下 载
1
线性回归
• y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变 量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出 来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究 随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系 存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组 分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲 线，浓度与吸光度间的关系。
• 求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小 ，简称最小二乘法。
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6.1 散点图
•
要研究两个变量之间是否存在相关关系，自然要先作实验，拥有一批实验数
据，然后，作散点图，以便直观地观察两个变量之间的关系。
•
合成纤维强度与拉伸倍数的关系，24组实验。
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某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
编号 拉伸倍数
x
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1.9
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2.7
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3.5
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强度 y
kgf/cm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
编号 拉伸倍数
x
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强度 y
kgf/cm2 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
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强度y
10 8 6 4 2 0 0
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拉伸倍数x
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从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：
Y=a+bx Y 是 y 的计算值，与实际值不完全相同。 Y 与 x 之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。 确定回归方程 Y=a+bx 中的回归系数 a、b。 y 随 x 增大，称为正相关； y 随 x 减小，称为负相关。
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
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强度y
10 8 6 4 2 0
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拉伸倍数x
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6.2 回归方程的相关系数
• 因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
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6.3 曲线拟合
• 在化工实验数据处理中，我们经常会遇到这样 的问题，即已知两个变量之间存在着函数关系， 但是，不能从理论上推出公式的形式，要我们建 立一个经验公式来表达这两个变量之间的函数关 系。
• 二元溶液的溶解热与浓度的函数关系 • 反应物的浓度与反应时间的函数关系 • 做散点图，选经验方程，曲线变直，相关系数
对比，求出常数
10
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，
试作出其经验方程。
浓度随时间的变化关系
时间
2
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8 11 14 17 27 31
t(min)
浓度 cA 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 (mol/L)
35 0.391
Ⅰ、首先将实验数据 t~cA 作图，图像表明，这是一条曲线，不是 y=a+bx 型直线，因此，对照样板曲线重新选型。
11
c（mol/L）
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
c, t关系图
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t（min）
系列1
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Ⅱ、选 y 1 型试探，将曲线变直，这时
ax b
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
1/cA~ t 数表
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1/cA
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1/c
1/c， t 关系图
3 2.5
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系列1
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0.5 0
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Ⅲ、再选用 y=axb 型作试探，将此曲线变直
y=lncA 算得：
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
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lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
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3.555 -0.939
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0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
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lnc， lnt 关系图
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系列1
作 lnc ~lnt 的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这 14 个类型的经验公式更不适合了。
Ⅳ、又重新选型，选用 y=aebx 型，再试探
y=lncA
x=t
lnc， t 关系图
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
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系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型经验方程。
对照一级反应动力学的积分式：
c=cA0e-kt
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说明我们所作的结果，事实上证明了这个液相反应是一级反应，
a 相当于反应物 A 的初始浓度 cA0。 b 相当于反应速率常数 k。
感谢下 载