2.2 第2课时 平方根
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因为任何实数的平方都为非负数，所以 负数没有平方根，也没有算术平方根.
要点归纳
平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.
归纳总结 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术 平方根是平方根的一种.
a叫做被开方数.
平方与开平方有什么关系？ 可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据
这种关系可以求出一个数的平方根.
典例精析
例1 求下列各数的平方根:
(1)64 ； (2) 49 ; (3)0.0004； (4) (25)2; (5) 11.
121
解：（1）∵ 82 64 ，∴64的平方根为±8;
a2 ＝a (a ≥0).
开平方及相关运算
平方根的表示方法、读法
根号
a
（a是非负数）
被开方 数
读作：正、负根号a
试一试
1. 144的平方根是什么？ 12
2. 0的平方根是什么？ 0
3.245
的平方根是什么？
2 5
4. -4有没有平方根？为什么？
没有，因为一个数的平方不可能是负数
想一想
通过这些题目的解答，你能发现什么?
问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的 平方是负数？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方： （ab）2=a2b2
当堂练习
1.下列说法正确的是_①__④__⑤____
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36 的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64 的算术平方根是8. 2.下列说法不正确的是__B____ A.0的平方根是0
2
64
64
2
49 121
7.2 2 7.2
020
2
a
?
你能把所得的公式用字母表示出来吗？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质 一般地，( a )2 ＝a (a ≥0).
例2 计算：
(1) ( 1.5)2;
想一想：本小题
(2) (2 5)用2. 到了幂的哪条
基本性质呢？
解：(1) ( 1.5)2 1.5;
第二章 实数
2.2 平方根
第2课时 平方根
学习目标
情境引入
1.学会进行开平方运算．（重点）
2.能够求一个数的平方根．（重点）
导入新课
复习引入
1.什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于 a 则这个数叫做 a 的 算术平方根,表示为 a (a 0) .
2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运 算的是什么？
2
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 a 2 (a 1)2
的结果是 1 .
-1 0 1 a 2
6.利用 a ＝( a )2 （ a ≥0），把下列非负数
分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ；
(2)5 ；
( 9)2
( 5)2
(4) 0.25
；
1 (5) 2
；
( 1 )2 4
( 1 )2 2
(3) 2.5 ；
( 5 )2 2
(6)0 .
( 0)2
7.已知 3x 12 363 ，求x的值．
解：∵ 3 x 12 363,
∴ x 12 121,
x 1 121,
x 1 11或x 1 11,
∴ x=12 或 x=－10.
课堂小结
平方根的概念
平方根
平方根的性质
( a )2 a (a 0)
B. 22的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下 一个自然数的算术平方根是（ D ）
A. a+1 B. a 1 C. a2+1 D. a2 1
4. x为何值时， x 有意义？
2
解： 因为 x 0，所以 x 0 .
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
区别：
二 开平方及相关运算
两种运算有什么不同？
x
x2
x2
xΒιβλιοθήκη Baidu
+1
-1
1
+2
-2
4
+1 1
-1 +2 4 -2
+3
-3
9
+3
9
-3
平方运算
这是什么运算？
开平方的定义： 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，
问题：平方等于9，245 ，49的数还有吗？
填一填(2)
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8 -8
？64
3
4
-
3 4
11 ？
-11 ？
0.6 ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有？ ？
？9 16
121 0.36
0 -4
概念学习
平方根的定义： 一般地，如果一个数x的平方等于a，即
x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次 方根）.
（2）∵
7
2
49
，∴
49
的平方根为
7
;
11 121
121
11
（3）∵ 0.022 0.0004 ，∴0.0004的平方根为±0.02;
（4）∵ 252 252，∴ 252的平方根为 ±25;
（5）11的平方根是 11.
三 ( a )2 (a 0) 的性质
思考：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 加法与减法互逆；乘法与除法互逆.
思考：乘方有没有逆运算？
讲授新课
一 平方根的概念及性质
填一填(1)
(1) 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是__3___
(2)
2 5
的平方等于245
，那么
4 25
2
的算术平方根就是_5___
(3) 展厅地面为正方形，其面积49 m2，则边长为_7__m.
要点归纳
平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.
归纳总结 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术 平方根是平方根的一种.
a叫做被开方数.
平方与开平方有什么关系？ 可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据
这种关系可以求出一个数的平方根.
典例精析
例1 求下列各数的平方根:
(1)64 ； (2) 49 ; (3)0.0004； (4) (25)2; (5) 11.
121
解：（1）∵ 82 64 ，∴64的平方根为±8;
a2 ＝a (a ≥0).
开平方及相关运算
平方根的表示方法、读法
根号
a
（a是非负数）
被开方 数
读作：正、负根号a
试一试
1. 144的平方根是什么？ 12
2. 0的平方根是什么？ 0
3.245
的平方根是什么？
2 5
4. -4有没有平方根？为什么？
没有，因为一个数的平方不可能是负数
想一想
通过这些题目的解答，你能发现什么?
问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的 平方是负数？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方： （ab）2=a2b2
当堂练习
1.下列说法正确的是_①__④__⑤____
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36 的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64 的算术平方根是8. 2.下列说法不正确的是__B____ A.0的平方根是0
2
64
64
2
49 121
7.2 2 7.2
020
2
a
?
你能把所得的公式用字母表示出来吗？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质 一般地，( a )2 ＝a (a ≥0).
例2 计算：
(1) ( 1.5)2;
想一想：本小题
(2) (2 5)用2. 到了幂的哪条
基本性质呢？
解：(1) ( 1.5)2 1.5;
第二章 实数
2.2 平方根
第2课时 平方根
学习目标
情境引入
1.学会进行开平方运算．（重点）
2.能够求一个数的平方根．（重点）
导入新课
复习引入
1.什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于 a 则这个数叫做 a 的 算术平方根,表示为 a (a 0) .
2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运 算的是什么？
2
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 a 2 (a 1)2
的结果是 1 .
-1 0 1 a 2
6.利用 a ＝( a )2 （ a ≥0），把下列非负数
分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ；
(2)5 ；
( 9)2
( 5)2
(4) 0.25
；
1 (5) 2
；
( 1 )2 4
( 1 )2 2
(3) 2.5 ；
( 5 )2 2
(6)0 .
( 0)2
7.已知 3x 12 363 ，求x的值．
解：∵ 3 x 12 363,
∴ x 12 121,
x 1 121,
x 1 11或x 1 11,
∴ x=12 或 x=－10.
课堂小结
平方根的概念
平方根
平方根的性质
( a )2 a (a 0)
B. 22的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下 一个自然数的算术平方根是（ D ）
A. a+1 B. a 1 C. a2+1 D. a2 1
4. x为何值时， x 有意义？
2
解： 因为 x 0，所以 x 0 .
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
区别：
二 开平方及相关运算
两种运算有什么不同？
x
x2
x2
xΒιβλιοθήκη Baidu
+1
-1
1
+2
-2
4
+1 1
-1 +2 4 -2
+3
-3
9
+3
9
-3
平方运算
这是什么运算？
开平方的定义： 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，
问题：平方等于9，245 ，49的数还有吗？
填一填(2)
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8 -8
？64
3
4
-
3 4
11 ？
-11 ？
0.6 ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有？ ？
？9 16
121 0.36
0 -4
概念学习
平方根的定义： 一般地，如果一个数x的平方等于a，即
x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次 方根）.
（2）∵
7
2
49
，∴
49
的平方根为
7
;
11 121
121
11
（3）∵ 0.022 0.0004 ，∴0.0004的平方根为±0.02;
（4）∵ 252 252，∴ 252的平方根为 ±25;
（5）11的平方根是 11.
三 ( a )2 (a 0) 的性质
思考：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 加法与减法互逆；乘法与除法互逆.
思考：乘方有没有逆运算？
讲授新课
一 平方根的概念及性质
填一填(1)
(1) 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是__3___
(2)
2 5
的平方等于245
，那么
4 25
2
的算术平方根就是_5___
(3) 展厅地面为正方形，其面积49 m2，则边长为_7__m.