1.2波导与同轴线[1]

当kc为常数时，vg
=
dω dβ
= 1/
dβ dω
=
c
1 − kc2 / k 2 μrε r
波阻抗——某个波型的横向电场和横向磁场之比
Z = Et / Ht ★自由空间中的波阻抗Z = 120π
传输功率
∫ ∫ P = 1 Re
2
(E × H ∗)idS = 1 Re
s
2
s
(Et
×
H
∗ t
)iaz
3）kc是微分方程在特定边界条件下的特征值，它 是一个与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式 有关的参量。由于当相移常数β=0时，意味着波 导系统不再传播，亦称为截止，此时kc=k，故将 kc称为截止波数。
jingqilu@126.com
1.2.1 理想导波系统的一般分析
传输特性
相移常数和截止波数
微带线
jingqilu@126.com
常用的高频传输线（馈线）
平行双线
适用于米波或波长更长的波段，传输TEM波 当频率升高时，导体损耗增强（趋肤效应明显），
介质损耗增强，漏射损耗也增强；同时保密性差
同轴线
适用于米波、分米波和厘米波的波段，传输主模 TEM波
克服了漏射损耗，但仍有导体损耗和介质损耗，功 率容量小
⎪⎪λ0： ⎪
λ0
=
2π k
=
f
1 με
⎪ ⎪⎪λ1： 介质中的波长：λ1 = ⎨
λ0 εr
⎪ ⎪λg： 波导中的波长：λg ⎪
=
2π β
=
k
2π 1 − kc2 / k 2
⎪ ⎪⎪⎩λc：
波导中的截止波长：λc
=
2π kc
=
2π k2 − β2
传输特性
jingqilu@126.com
群速——表征了波能量的传播速度
规则金属管内电磁波
jingqilu@126.com
结论：
1）在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波 动方程，结合相应边界条件即可求得纵向分量Ez 和Hz，而场的横向分量即可由纵向分量求得；
2）既满足上述方程又满足边界条件的解有很 多，每个解对应一个波型也称为模式，不同的模 式具有不同的传输特性；
0⇒
⎧ ∂H z ⎪⎪ ∂x
⎨ ⎪
∂H
z
⎪⎩ ∂y
|x=0 = |y=0 =
∂H z ∂x ∂H z ∂y
|x=a = |y=b =
0 0
矩形波导TE波纵向磁场H
的通解：
z
Hz
=
H0
cos(mπ
x ) cos(nπ a
y )e− jβ z b
矩形波导中的场
jingqilu@126.com
TE波 (Ez = 0, H z = Hoz (x, y)e− jβ z ≠ 0)
此时的边界条件为：∂H z ∂n
|s =
0，S为波导周界
vp
=
ω β
>
c μrε r
快波
TE波的波阻抗为：ZTE
=
Ex Hy
= ωε β
=
μ ε
1 1 − kc2 / k 2
jingqilu@126.com
§1.2.2 波导传输线
矩形波导：由金属材料制成、矩形截面的，内 充空气的规则金属波导。
设矩形波导的宽边尺寸为a，窄边尺寸为b，建 立图示的坐标。
+ k 2Ez + k2H + k 2Et
=0 z =0 =0
⎪ ⎩
∇2
H
t
+ k2Ht
=
0
规则金属管内电磁波
jingqilu@126.com
利用分离变量法，则有：
⎧⎨⎩纵纵向向电磁场场：：EHzz((xx,,yy,,zz))
= =
Eoz ( x, y)e− jβ z Hoz ( x, y)e− jβ
1.2 波导与同轴线
电子科技大学中山学院电子系 卢晶琦
jingqilu@126.com
jingqilu@126.com
1.2 波导与同轴线
1 理想导波系统分析
2 波导传输线——矩形波导
3 同轴线
jingqilu@126.com
常用的高频传输线（馈线）
常常用用的的高高频频传传输输线线
平行双线
同轴线
波导
TE波
TE波讨论
☆H
为模式振幅常数，说明既满足方程又满足边界条件
mn
的解有很多，我们将一个解称之为一种传播模式；
☆kc为矩形波导TE波的截止波数，它与波导尺寸、传播
波型有关：
kc =
( mπ )2 + ( nπ )2
a
b
☆m、n分别代表波沿x方向和y方向分布的半波个数，一
组mn对应一种TE波，称作TEmn模；但m和n不能同时为 零，否则场分量全部为零；
∴该导行波既无纵向电场又无纵向磁场，
只有横向电场和磁场，称为横电磁波——TEM波
★ kc2 < 0 ⇒ β > k
相速vp
=
ω β
<
c， μrε r
即相速比无界媒质空间中的速度要慢，故又称之为慢波。
在由光滑导体壁构成的导波系统中不可能存在kc2 < 0的情形， 只有当某种阻抗壁存在时才存在这种可能。
dS
∫ ∫ = 1
2Z
s
Et
2dS
=
Z 2
s Ht 2dS
jingqilu@126.com
1.2.1 理想导波系统的一般分析
导行波的分类
对理想导波系统，k = ω με为实数，而截止频率kc由导波横截面 边界条件决定；根据kc的不同，可将导行波分为以下三种：
★ kc2 = 0且kc = 0 ⇒ 必有Ez = 0和Hz = 0
TE波各场分量的表达式为：
⎧ ⎪
Ex
⎪
=
jωμ kc2
nπ b
mπ Hmn cos( a
x) sin( nπ b
y)e− jβ z
⎪ ⎪Ey ⎪
=−
jωμ kc2
mπ a
mπ Hmn sin( a
x) cos( nπ b
y)e− jβ z
⎪ ⎪
Ez
=
0
⎨ ⎪Hx ⎪
=
jβ kc2
mπ a
H
mn
sin(
jingqilu@126.com
常用的高频传输线（馈线）
波导
适用于厘米波、毫米波波段 电磁能量封闭在波导管内，无漏射损耗，一般也无
介质损耗，有导体损耗，功率容量大； 频带窄，加工要求高，较为笨重；
微带线
适用于厘米波、毫米波波段 尺寸小，低剖面，便于集成化； 功率容量小
jingqilu@126.com
☆β 2 < 0，导行波沿着z轴以指数规律衰减的波 ----截止状态
☆β 2 = 0，介于传输与截止之间的一种状态 －－－－临界状态，
它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭，此时对应 的fc和λc分别称为截止频率和截止波长
传输特性
jingqilu@126.com
Leabharlann Baidu
几种“波长”的区分
⎧ 自由空间（无限大、无介质，真空、大气中）中的波长
⎧⎪波数： k = ω με = 2π /λ ⎨ ⎪⎩相移常数： β = k 2 − kc2 = k 1− kc2 / k 2
相速vp与波导波长λg
• 相速：电磁波在波导中传播，其等相位面移动的速率
vp
=
ω β
=
c / μrεr 1−(λ / λc )2
对导行波来说，λ < λc，故有vp > c / μrεr
⎧ ∇2E ⎨⎩∇ 2 H
+ +
k2E k2H
=0 ,k =0
=
ω
με ---波数
将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量，即有：
⎧⎪ ⎨
E
=
Et
+
az Ez
⎪⎩H = Ht + az H z
az为z向单位矢量，t表示横向坐标，既可代表直角坐标中的(x, y),
又可代表圆柱坐标系中的(ρ,ϕ )
则有：⎧⎪⎪⎨⎪∇∇∇222EHEztz
其中，待定系数B1、B2、B3、B4由边界条件确定
矩形波导中的场
jingqilu@126.com
TE波
Hoz (x, y)的通解：
Hoz (x, y) = (B1 cos kx x + B2 sin kx x)(B3 cos ky y + B4 sin ky y)
⇓
边界条件：∂H z ∂n
|s =
在规则波导中波的传播速度要比在无界空间媒质中传播速度要快
波导波长：λg
=
2π β
=
λ 1− λ 2 / λc2
2
传输特性
jingqilu@126.com
截止波数&截止波长
β 2 = k 2 − kc2，由于工作频率不同，相移常数β 2可能有 三种不同的情况：
☆β 2 > 0，导行波电场为沿正z轴方向无衰减传输的行波 ----传输状态；
☆TE10模是最低次模，其余称为高次模；
矩形波导中的场
jingqilu@126.com
TM波 ⎧
⎨ ⎩
Hz ∇t2
= 0, Ez Eoz ( x, y
3
1、矩形波导
jingqilu@126.com
矩形波导中的场
根据上一节导波原理的介绍，波导中的场的分析，最终归结到边界
条件下二维亥姆霍兹方程
⎧⎨⎩∇∇t2t2HEoozz
( (
x, x,
y) y)
+ +
kc2 kc2
Eoz (x, y) Hoz (x, y)
= 0 的求解上 =0
矩形金属波导中只能存在TE波和TM波
1.2.1 理想导波系统的一般分析
规则金属波导： 截面尺寸、形状、材料及边界条件不变的均匀
填充介质的金属波导管称为规则金属波导。
场分析法
Maxswell方程组 ⇒ 波动方程
⎯边⎯界⎯条件⎯→
场解
⎧ ⎨ ⎩
E x、E y、E z H x、H y、H
z
1
jingqilu@126.com
1.2.1 理想导波系统的一般分析
规则金属管内电磁波
对由均匀填充介质的金属波导管建立图示的坐标系， 设z轴与波导的轴线相重合。
¾我们假设： ¾1）波导管内填充的介质是 均匀、线性、各向同性的； ¾2）波导管内无自由电荷和 传导电流的存在； ¾3）波导管内的场是时谐 场；
¾4）波导无反射，完全处于行波状态； ¾5）波导壁是理想导体（无耗线）
mπ a
x) cos( nπ b
y)e− jβ z
⎪ ⎪H y ⎪
=
jβ kc2
nπ b
H
mn
cos(
mπ a
x) sin( nπ b
y)e− jβ z
m、n不能同时 为零，否则所 有场分量为零
⎪ ⎪⎩H z
=
H0
cos(
mπ a
x) cos( nπ b
y)e− jβ z
矩形波导中的场
jingqilu@126.com
jingqilu@126.com
理想导波系统的一般分析
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为0，即ρ =0、J＝0。 在线性、各项同性的均匀媒质中，麦克斯韦方程组为：
⎧ ⎪∇ × H ⎪
=ε
∂E ∂t
=
jωε E
①
⎪⎨∇ × E ⎪
= −μ
∂H ∂t
=
− jωμH
②
⎪∇iH = 0
③
⎪⎩∇iE = 0
z
←
纵向分量
其中，Eoz ( x, y), Hoz ( x, y)满足以下标量齐次波动方程：
⎧⎨⎩∇∇t22tHEoozz
( (
x, x,
y) y)
+ +
kc2 kc2
Eoz ( x, Hoz ( x,
y) y)
= =
0 0
,
kc2
=
k2
−
β
2为传输系统的本振值
则由有麦：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩克HEEH斯xyyx ====韦−k−kjc2jck方2kj(c2j(c2ω−(程(ωμββμ∂，∂∂∂H∂∂∂HHx∂xyH无zyzz+z++源+βωωβ区εε∂∂E∂∂∂y∂∂∂电zEEEyxx)zzz场))) ←和横磁向场分常下系模不应kk量cc是=数的统式再满k微足β特横有传，和具即在 分 方 既 边 每 称件的分=征截关播故H有可规 量 程 满 界 个 为即0方方值面的，将时z不由模则 满 ， 足 条 解可，程程，形参亦k，同纵式波 足 结 上 件 对求而c为称在它状量称意的向，导 标 合 述 的 应得场：为特是、。为⎧⎨⎩味∇传分不中 量 相 方 解 一纵的∇截定一尺由截着××输量同场 齐 应 程 有 个向横止边E个止寸于波H特求的的次边又很波分向=波界与，及当导=−数性得模纵 波 界 满 多 型量分条此传相导系jjωω。件；；式向 动 条 足 ， 也E量时输移波统εμEzH
导行波的分类
jingqilu@126.com
★
kc2
>
0
⇒
β
2
>
0
⇒
Ez
和H
不能同时为零
z
①TM 波(E波)
Ez ≠ 0 & H z = 0，磁场纯横向波 此时的边界条件为：Ez |s = 0，S为波导周界
TM波的波阻抗为：ZTM
=
Ex Hy
=β ωε
=
μ ε
1
−
kc2 k2
②TE波(M波)
Ez = 0 & H z ≠ 0，电场纯横向波
1.TE波
⎧⎨⎩∇Et2z
= 0, Hoz (
H x,
z = Hoz (x, y) + kc2Hoz
y)e− jβ z (x, y) =
≠ 0：TE波的特性 0：亥姆霍兹方程
⇓
∇t2
=
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y 2
& 分离变量法
Hoz (x, y)的通解： Hoz (x, y) = (B1 cos kx x + B2 sin kx x)(B3 cos ky y + B4 sin ky y)
④
对①、②两式两边分别取旋度，并利用矢量恒等式：
∇ ×（∇ × E) = ∇(∇iE) − ∇2E得到：
⎧ ∇2E ⎨⎩∇2 H
+ +
k2E k2H
=0 ,k
=0
=
ω
με ---波数
← 无源区域中的波动方程
规则金属管内电磁波
jingqilu@126.com
金属导体内部的电、磁场都满足矢量齐次亥姆霍兹方程，即：