高中数学数列极限课件
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有一个正三角形的岛屿（边长为1）；第二次观察时，发现它并非正三角形， 而的是中每 央边13 中处央都13 有处一向向外外有突一出正的三正角三形角海形岬海；岬第，三把次这观个察过时程发无现限原继先续每下一去小，边 就得到著名的数学模型——科赫岛。
记作：
lim
n
a
n
a
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
(三)尝试探究，深化概念:
[应用举例]： 揭示共同规律，形成概念。
11
1
（1） 1, , , 8 27
, n3 ,
;
（2） 6.5,6.95,6.995, 75, ; 10n
|0.99999-1|=0.00001 |0.999999-1|=0.000001
…
… …
(四)分层练习、巩固创新
3 [探索性练习] ：
（1）公比为q的无穷等比数列，它的前n项和为 S
足什么条件时，
lim
n
S
n
存在？
，当q满
n
（2）在边长为R的正六边形内，依次连结各边的中点，得一
正六边形，又在这一正六边形内，依次连结各边的中点，又
11 64
1 2
（二）感知实例，归纳概念
3、 [概念形成]： 揭示共同规律，形成概念。
定义：一般地，如果当项数n无限增大时，
无穷数列{ a n } 的项 a n 无限地趋近于某个常
数a,（即 |a n a |无限地接近于0）那么就
说数列{ a n }以a为极限，或者说a是数列{ a n } 的极限
直径为1的圆：
正三角形
正六边形
正十二边形
（一）结合实际，动画导入：
内接正多边形边数 6 12 24 48 96
192 384 768 1536 3072
正多边形周长 3.00000000 3.10582854 3.13262861 3.13935020 3.14103194 3.14145247 3.14155761 3.14158389 3.14159046 3.141592106
《数学》 第三册 P73－P76
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
（一）结合实际，动画导入：
1.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”
… …
（一）结合实际，动画导入：
2、战国时代哲学家庄周说道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
求第n天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；
1
第1天
第2天
第3天
1
……
2n
第n天 ……
（一）结合实际，动画导入：
3.求曲边梯形的面积：
y=f(x)
y
0a
b
x
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
（3） 1,1,1, 24 8
1 ,(2)n ,
.
（4） 1,2,3, ,n,
（5） 1,1,1, 1, .
结 论 : lim C C C 为 常 数
n
lim10 lim (1)p0(p>0)
n n
n n
(三)尝试探究，深化概念
[猜想，探究]：
例2判断以下推理过程正确与否： lim1n 1 ，而0.99很接近于1
（二）感知实例，归纳概念
1、 [观察思考]：考察以下数列的 变化趋势。 （1） (2) (3)
（二）感知实例，归纳概念
2 [揭示本质]：观察变化趋势，总结规律。
（1）
.... . .
.
(2)
. . . .....
0
1
23
1
2
34
(3)
.
. . ....... ... .
-1
-1 3
1 5
1 7
0
得一正六边形，这样无限地继续下去，试求所有正六边形的
周长之和。
……
思考—讨论—探究—解答
(四)分层练习、巩固创新
4 [开放性练习] ：
某校有教职工150人，为了丰富教职工的课 余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，并且 所有教职工每次去健身房或娱乐室之一。据调 查室统，计而， 去每 娱次 乐去 室健的身人房有2的0人0 0 有下1次0 去0 0 下健次身去房娱，乐请 思考，随着时间的推移，去健身房的人数能否 趋于稳定？
(四)分层练习、巩固创新
1. [巩固性练习] ：考察以下数列的极限。
(1) 10,20,30,,n0,
观
(2) 1， 1， 1， ， 1,
察 讨
23 n
论
(3) 2,4, 8,,(2)n,
3 9 27 3
(4) 3,9,27,,(3)n,
24 8
2
(5 ) 2 .9 , 2 .9 9 , 2 .9 9 9 ,, 3 1 0 1 n,
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：考察以下数列的极Hale Waihona Puke Baidu。
210 (n 210 )
（1）若
an
210
n
(n>210 ) 则数列 { a n } (
)
A 无极限
B 有极限 2 1 0
C 有极限 2 1 0 或0 D 有极限0
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：
[深入探究]： （2）试比较 0 . 9 与1 的大小
考察数列0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1- 各1项与1的距离。
10n
序号 1 2 3 4 5 6
项an 0.9 0.99 0.999 0.9999
0.99999 0.999999
an与1的差的绝对值 |0.9-1|=0.1 |0.99-1|=0.01 |0.999-1|=0.001 |0.9999-1|=0.0001
n
lim0.99n 1 是否正确？ n
猜想数列 0.99n 的极限，再用计算器计算
0 .9 9 1 0 0 0,0 .9 9 5 0 0 0,0 .9 9 1 0 0 0 0,0 .9 92 0 0 0 0 .
结论：一般地，若 a1则liman 0 n
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
答：随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100人左右
(五)归纳小结
（1）在数列极限的定义中，当n无限增 大时，如何趋近是不重要的，重要的是 无限趋近。
（2）不是任何数列都有极限，但如果有 极限，则极限是唯一的。
（3）掌握数列极限的性质和结论。
作业
1教材第76页习题 2.2 2 探究 ： 人们想象，一艘太空飞船飞回地球，第一次观察时 发现地球上
记作：
lim
n
a
n
a
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
(三)尝试探究，深化概念:
[应用举例]： 揭示共同规律，形成概念。
11
1
（1） 1, , , 8 27
, n3 ,
;
（2） 6.5,6.95,6.995, 75, ; 10n
|0.99999-1|=0.00001 |0.999999-1|=0.000001
…
… …
(四)分层练习、巩固创新
3 [探索性练习] ：
（1）公比为q的无穷等比数列，它的前n项和为 S
足什么条件时，
lim
n
S
n
存在？
，当q满
n
（2）在边长为R的正六边形内，依次连结各边的中点，得一
正六边形，又在这一正六边形内，依次连结各边的中点，又
11 64
1 2
（二）感知实例，归纳概念
3、 [概念形成]： 揭示共同规律，形成概念。
定义：一般地，如果当项数n无限增大时，
无穷数列{ a n } 的项 a n 无限地趋近于某个常
数a,（即 |a n a |无限地接近于0）那么就
说数列{ a n }以a为极限，或者说a是数列{ a n } 的极限
直径为1的圆：
正三角形
正六边形
正十二边形
（一）结合实际，动画导入：
内接正多边形边数 6 12 24 48 96
192 384 768 1536 3072
正多边形周长 3.00000000 3.10582854 3.13262861 3.13935020 3.14103194 3.14145247 3.14155761 3.14158389 3.14159046 3.141592106
《数学》 第三册 P73－P76
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
（一）结合实际，动画导入：
1.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”
… …
（一）结合实际，动画导入：
2、战国时代哲学家庄周说道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
求第n天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；
1
第1天
第2天
第3天
1
……
2n
第n天 ……
（一）结合实际，动画导入：
3.求曲边梯形的面积：
y=f(x)
y
0a
b
x
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
（3） 1,1,1, 24 8
1 ,(2)n ,
.
（4） 1,2,3, ,n,
（5） 1,1,1, 1, .
结 论 : lim C C C 为 常 数
n
lim10 lim (1)p0(p>0)
n n
n n
(三)尝试探究，深化概念
[猜想，探究]：
例2判断以下推理过程正确与否： lim1n 1 ，而0.99很接近于1
（二）感知实例，归纳概念
1、 [观察思考]：考察以下数列的 变化趋势。 （1） (2) (3)
（二）感知实例，归纳概念
2 [揭示本质]：观察变化趋势，总结规律。
（1）
.... . .
.
(2)
. . . .....
0
1
23
1
2
34
(3)
.
. . ....... ... .
-1
-1 3
1 5
1 7
0
得一正六边形，这样无限地继续下去，试求所有正六边形的
周长之和。
……
思考—讨论—探究—解答
(四)分层练习、巩固创新
4 [开放性练习] ：
某校有教职工150人，为了丰富教职工的课 余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，并且 所有教职工每次去健身房或娱乐室之一。据调 查室统，计而， 去每 娱次 乐去 室健的身人房有2的0人0 0 有下1次0 去0 0 下健次身去房娱，乐请 思考，随着时间的推移，去健身房的人数能否 趋于稳定？
(四)分层练习、巩固创新
1. [巩固性练习] ：考察以下数列的极限。
(1) 10,20,30,,n0,
观
(2) 1， 1， 1， ， 1,
察 讨
23 n
论
(3) 2,4, 8,,(2)n,
3 9 27 3
(4) 3,9,27,,(3)n,
24 8
2
(5 ) 2 .9 , 2 .9 9 , 2 .9 9 9 ,, 3 1 0 1 n,
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：考察以下数列的极Hale Waihona Puke Baidu。
210 (n 210 )
（1）若
an
210
n
(n>210 ) 则数列 { a n } (
)
A 无极限
B 有极限 2 1 0
C 有极限 2 1 0 或0 D 有极限0
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：
[深入探究]： （2）试比较 0 . 9 与1 的大小
考察数列0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1- 各1项与1的距离。
10n
序号 1 2 3 4 5 6
项an 0.9 0.99 0.999 0.9999
0.99999 0.999999
an与1的差的绝对值 |0.9-1|=0.1 |0.99-1|=0.01 |0.999-1|=0.001 |0.9999-1|=0.0001
n
lim0.99n 1 是否正确？ n
猜想数列 0.99n 的极限，再用计算器计算
0 .9 9 1 0 0 0,0 .9 9 5 0 0 0,0 .9 9 1 0 0 0 0,0 .9 92 0 0 0 0 .
结论：一般地，若 a1则liman 0 n
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
答：随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100人左右
(五)归纳小结
（1）在数列极限的定义中，当n无限增 大时，如何趋近是不重要的，重要的是 无限趋近。
（2）不是任何数列都有极限，但如果有 极限，则极限是唯一的。
（3）掌握数列极限的性质和结论。
作业
1教材第76页习题 2.2 2 探究 ： 人们想象，一艘太空飞船飞回地球，第一次观察时 发现地球上