积分变换第1讲(2)

2p 2p p np w , w n nw T 8 4 4
f8(t)
-1
1
T=8
7
t
则
1 - jw n t cn T fT (t )e dt T -2 1 4 1 1 - jw n t - jw n t f 8 (t )e dt e dt 8 -4 8 -1 1 1 1 - jw n t jw n - jw n e e -e - 8 jw n 8 jw n -1 1 sin w n 1 sinc( w n ) (n 0,1,2,) 4 wn 4
而 an j bn 1 j nwt c- n cn T fT (t )e dt 2 T -2 因此可以合写成一个式子
T 2
1 cn T

T 2
T 2
fT (t )e
n
- jw n t
dt (n 0,1,2, )
fT (t )
n -
c e

jw n t
1 jw nt - jw n T fT ( )e d e T n - - 2
T 2

例 定义方波函数为
1 | t | 1 f (t ) 0 | t | 1
如图所示:
f(t)
1
-1
o
1
t
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
T 2 T 2
T 2
cos nwt cos mwt d t 0 (n, m 1,2,3,, n m),
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...的函数 的长度计算如下:
1 12 d t T T
2 T 2 T 2
1 cos 2nwt T cos nwt T cos nwt d t T dt 2 2 2 2

T 2 T 2
-
a0 fT (t ) cos nwt d t T cos nwt d t 2 2 am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2

T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
m 1
2
T 2
T an T cos nwt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t ) cos nwt d t T -2
[ f , g ] T f (t ) g (t ) d t
2
T 2
一个函数f(t)的长度为
|| f || [ f , f ]

T 2
T 2
f (t ) d t
2
而许瓦兹不等式成立 : [ f , g] f g 即 T f (t ) g (t ) d t
2 T 2 T 2 T 2 T 2
- jw n t
c e
n - n
jw n t
给定fT(t), cn的计算如下: T a0 1 2 c0 T fT (t ) d t 2 T -2 T an - jbn 1 2 当n 1时cn T fT (t ) cos nwt d t 2 T -2 T 1 2 - j T fT (t ) sin nwt d t T -2 T 1 2 T fT (t )[cos nwt - j sin nwt ] d t T -2 T 1 2 - jnwt T fT (t )e dt T -2
2
T 2
1 - cos 2nwt T sin nwt T sin nwt d t T dt 2 2 2 2
T 2
2
T 2
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
a0 fT (t ) (an cos nwt bn sin nwt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即

jj
- jj
jj
- jj
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
a0 且令c0 , 2 an - jbn cn , n 1,2,3, 2 an jbn c- n , n 1,2,3, 2 fT (t ) c0 cn e
n 1

jw n t
c- n e

T 2 T 2
-
a0 fT (t ) d t T d t 2 2

T 2 T 2
T 2
a0 (an T cos nwt d t bn T sin nwt d t ) T 2 2 2 n 1 T 2 2 即 a0 T fT (t ) d t T -2
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t 而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.

而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
e e e -e 由 cos j , sin j - j 得: 2 2 a0 fT (t ) 2 j nwt - j nwt e j nwt e - j nwt e -e an - j bn 2 2 n 1 a0 an - j bn j nwt an j bn - j nwt e e 2 n 1 2 2
p
由此不难验证

T 2
T 2 T 2
cos nwt d t 0 sin nwt d t 0
(n 1,2,3,), (n 1,2,3,), (n, m 1,2,3,), (n, m 1,2,3,, n m),
T 2 T 2
T 2 T 2
sin nwt cos mwt d t 0 sin nwt sin mwt d t 0
2
T 2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
Байду номын сангаас

T 2 T 2
-
a0 fT (t ) sin nwt d t T sin nwt d t 2 2 am T cos mwt sin nwt d t
m 1 n
2
T 2

T 2
bm T sin mwt sin nwt d t
x
前面计算出 1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 2 2p np w n nw n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构 造一周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n -
f (t 8n),
T 2


则在T=8时, 1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 4 2p np w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 8 4
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出 1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2,) 8 2p np w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 16 8

-
f 2 (t ) d t
g 2 (t ) d t T
2
这样可令 [ f , g] cos 是f , g间的夹角余弦, f g 则如果[ f , g ] 0称为f与g正交.
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系 1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ..., cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt 的线性组合. 当nm时,
m 1
2
T 2
T bn T sin nwt d t bn 2 2 T 2 2 即 bn T fT (t ) sin nwt d t T -2
2
T 2
最后可得:
a0 fT (t ) (an cos mwt bn sin nwt ) (1.1) 2 n 1 T 2 2 其中 a0 T fT (t ) d t T -2 T 2 2 an T fT (t ) cos nwt d t (n 1,2, ) T -2 T 2 2 bn T fT (t ) sin nwt d t (n 1,2, ) T -2
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例: f (t ) tg t
存在第二类间断点 1 f (t ) sin t 在靠近0处存在着无限多个极值点.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变 化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函 数.
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全 体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加 法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空 间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此 空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性 空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素 (即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交 的概念. 两个函数f和g的内积定义为:
T p j(n - m ) -T2 e e d t 2p -pe d 0 2pt 2p d t T 其中 wt , 则 d ,dt d T T 2p
T 2
j nwt
j mwt
这是因为
pe
-
p
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
T 2


sinc函数介绍
sinc 函数定义为 sin x sinc( x) x 严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为 sin x lim 1 x 0 x 所以定义 sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作 sin x 1, 则函数在整个实轴连续 x x0
sinc函数的图形: sinc(x)
f 4 (t )
n -
f (t 4n),

2p 2p p np w , w n nw T 4 2 2
f4(t)
-1
T=4
1
3
t
则
1 - jw n t cn T fT (t )e dt T -2 1 2 1 1 - jw n t - jw n t f 4 (t )e dt e dt 4 -2 4 -1 1 1 1 - jw n t jw n - jw n e e -e - 4 jw n 4 jw n -1 1 sin w n 1 sinc( w n ) (n 0,1,2,) 2 wn 2