组合数学 2章 母函数

第二章 母函数及其应用

问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。

新方法：母函数方法。

基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而

把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。

2.1 母 函 数

（一）母函数

（1）定义

定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞

=≡0n n

n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。 （2）例

例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是。

()x G ＝n

n n n n n x C x C x C C ++++Λ2210＝()n

x +1

例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是

()x G ＝ΛΛ+++++n x x x 21＝

x

-11 （3）说明

● n a 可以为有限个或无限个；

● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；

例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是

ΛΛ+++++n x x x 20＝

x

x -1 ● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

（4）常用母函数

（二）组合问题 （1）组合的母函数

定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211Λ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为

()x G ＝∏∑==⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛m

i n j j i x 10＝∑=n r r

r x a 0

(2.1.1) 其中，r 可重组合数为r

x 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .

定理2.1.1的优点：

● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。 （2）特例

推论1 {}n e e e S ,,,21Λ=，则r 无重组合的母函数为

G (x )＝ (1＋x )n (2.1.2)

组合数为r x 之系数C (n ,r )。

推论2 {}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,Λ21，则r 无限可重组合的母函数为

G (x )＝ ()n n

j j x x -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∞=110 (2.1.3) 组合数为x r 之系数C (n ＋r -1,r )。

推论3 {}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,21Λ，每个元素至少取一个，则r 可重组合（r ≥n ）的母函数为

G (x )＝n

n

j j x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∞

=11 (2.1.4) 组合数为x r 之系数C (r -1, n -1)。

推论4 {}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,21Λ，

每个元素出现非负偶数次，则r 可重组合的母函数为

G (x )＝(

)

()

n

n

n

x x

x x 224211

1-=

+++++Λ

Λ (2.1.5)

组合数为x r 之系数

r a =⎪⎩⎪

⎨⎧⎪⎭⎫

⎝

⎛-+为偶数

当为奇数当r r r n C r ,2,12,0 推论5 {}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,21Λ，每个元素出现奇数次，则r

可重组合的母函数为

G (x )＝()

n

n

n x x x x x x ⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=++++++212531ΛΛ 2.1.6) 组合数为x r 之系数

⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫

⎝

⎛---+-=为偶数当为奇数当n r n r n r n C n r a r ,2,12,0 推论6 设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211Λ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝

n ，要求元素i e 至少出现i k 次，则S 的r 可重组合的母函数为

G (x )＝∏∑==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛m

i n k j j i i x 1＝∑

=n

k r r

r x a (2.1.7)

其中，r 可重组合数为r x 之系数r a ，r ＝k ,k ＋1,…,n ，k ＝ k 1＋

k 2＋…＋k m 。

（3）一般情形：设{}c b a S ⋅∞⋅⋅=,30,20，并设元素a 只能出现1～5，10，13，16次，b 只允许出现奇数次，c 至少出现5次且必须出现偶数次，求S 的r 可重组合的母函数。

G (x )＝()16131052x x x x x x ++++++Λ

()2953

x x x

x ++++Λ(

)Λ++8

6x x

（三）应用

例2.1.3 设有2个红球，1个黑球，1个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？