概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题课

( x y)
0
1
x
e ( x y) , 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y) 1 e 0, 其他 fY ( x ) f ( x , y )dx y
1e dx, 0 y 1 0 1 e 0, 其他
0
1
x
b 1
1 e 1
e ( x y) , 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y) 1 e 0, 其他 （2） f X ( x ) f ( x , y )dy y
e dy, 0 x 1 1 0 1 e 0, 其他 e x ,0 x 1 1 1 e 0, 其他
e , y 0 0, y 0
y
( x y)
0
1
x
e ( x y) , 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y) 1 e 其他 x 0, e ,0 x 1 1 fX ( x) 1 e 0, 其他 e y , y 0 fY ( y) 0, y 0
f ( x, y) fY | X ( y | x ) fX ( x)
f ( x, y) f X |Y ( x | y) fY ( y)
,( f X( x) 0)
已知 Y=y的条件下，X的条件概率密度：
, ( fY ( y) 0)
随机变量函数的分布
若二维离散型随机变量的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, ,
X
1
2 11
p{ X k | Y 0}
（2）不放回抽样
①联合分布律
Y
X
0
45 66 10 66
1
10 66 1 66
0 1 0
45 66
④Z=X+Y的分布律
Z X Y
1
20 66
2
1 66
pk
（2）不放回抽样
①联合分布律
Y
X
0
45 66 10 66
1
10 66 1 66
0 1
45 66
FX ( x ) lim F ( x , y)
y
FY ( y) lim F ( x, y)
x
离散型随机变量
对离散型随机变量( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P ( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则(X,Y)关于X的边缘分布律为

pi j
p j
，i=1,2, … 在X=xj条件下随机变量Y的条件分布律：
P{Y y j | X xi }
P { X xi , Y y j } P { X xi }
，j=1,2, …

pi j p j
连续型随机变量
二维连续型随机变量（X,Y）
F ( x , y)
（3）
e ( x y) , 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y) 1 e 0, 其他 e y , y 0 fYBaidu Nhomakorabea( y) 0, y 0 当 y 0 时， fY ( y) 0
（3）
x e f ( x, y) , 1 f X |Y ( x | y ) 1 e fY ( y ) 0,
12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只 解 （1）放回抽样 ①联合分布律
Y
X
0
1
0 1
10 10 12 12 10 2 12 12
10 2 12 12 2 2 12 12
解 （1）放回抽样
①联合分布律
Y
X
0
25 36 5 36 30 36
1
5 36 1 36 6 36
0 1
②Y的边缘分布律
⑤U=max(X,Y) 的分布律
U max( X ,Y )
0
pk
11 66
1
107-21
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 be ( x y ) , 0 x 1, 0 y f ( x , y) 0, 其他 （1）试确定常数b； （2）求边缘概率密度； （3）求X的条件概率密度； （4）求函数U=max（X,Y）的分布函数； （5）求函数Z=X+Y的概率密度.
0 x 1, 其他
（4）
e x ,0 x 1 1 fX ( x) 1 e 0, 其他
FX ( u)

u
f X ( x )dx
u0 0, u0 0, u u x 1 e e ,0 u 1 dx , 0 u 1 1 0 1 e 1 1 e 1, u 1 1, u 1
0, 第二次取出的是正品 X 1, 第二次取出的是次品
0, 第二次取出的是正品 Y 1, 第二次取出的是次品
试分别就（1）（2）两种情况，写出
① ② ③ ④ ⑤ 联合分布律； Y的边缘分布律； Y=0条件下X的条件分布律； Z=X+Y的分布律； U=max(X,Y)的分布律.
P ( X xi ) pi pij , i 1, 2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘分布律为
P ( Y yi ) p j pij ,
i
j 1, 2,
在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律：
P { X xi | Y y j }
P { X xi , Y y j } P{Y y j }
2. M=max(X,Y)、N=min(X,Y)
当X和Y独立, 则有
Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ), Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
二、习题选讲
104-1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次 品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种 试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样. 我们定义随机变量X，Y如下：
' Z
f ( z y, y)dy
f ( x , z x )dx

以上两式即是两个随机变量和的概率密度的 一般公式.
当X和Y独立
fZ ( z )

f X ( z y) fY ( y)dy


f X ( x ) fY ( z x )dx
这两个公式称为卷积公式 .
（5）
e x ,0 x 1 1 fX ( x) 1 e y e , y 0 0, 其他 fY ( y) 0, y 0 由公式 f Z ( z ) f X ( x ) fY ( z x ) d x , x z e ( z x ) e d x, 0 z 1 1 0 1 e x 0, 其他 z ze ,0 z 1 1 1 e z 其他 0,
则随机变量Z=g(X,Y)的分布律为
P{ Z z k } P{ g ( X ,Y ) z k }

zk g ( xi y j )

pij ,
k 1, 2,
.
连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y的分布 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y),则


fZ ( z ) F ( z )
1
10 66 1 66
0 1
②Y的边缘分布律
Y
p
0
5 6
0
5 6 10 66
1
1 6
③Y=0条件下X的条件分布律
X
p{ X k | Y 0}
45 66
1
1 6
（2）不放回抽样
①联合分布律
Y
X
0
45 66 10 66
1
10 66 1 66
0 1
②Y的边缘分布律
Y
p
0
9 11
0
5 6
1
1 6
③Y=0条件下X的条件分布律
e y , y 0 fY ( y) 0, y 0
FY ( u)

u
fY ( y )dy
u0 0, u 1 e , u 0
0, u0 u y e dy, u 0 0
u0 0, u 1 e FX ( u) ,0 u 1 1 1 e u1 1, u0 0, FY ( u) u 1 e ,u 0 0, u0 u 2 FU ( u) FX ( u) FY ( u) e 1 , 0 u 1 1 1 e u1 1 eu ,
对一切x, y, 均有： f ( x, y) f X ( x) fY ( y) 故X,Y 独立
e ( x y) , 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y) 1 e 0, 其他 e y , y 0 fY ( y) 0, y 0 当 y 0 时， fY ( y) 0 e ( x y) f ( x, y) f X |Y ( x | y ) 1 e 1 0 x 1, fY ( y ) y , e 0, 其他
第三章
多维随机变量及其分布 习 题 课
一、主要内容 二、习题选讲
一、主要内容
二维随机变量
联合分布函数与边缘分布函数 联合分布律 离散型随机变量 边缘分布律 条件分布律 连续型随机变量 联合概率密度 边缘概率密度 条件概率密度
随机变量函数的分布
联合分布函数与边缘分布函数
F ( x , y ) P ( X x ,Y y ) , x, y
Y p
0
1
解 （1）放回抽样 ①联合分布律
Y
X
0
25 36 5 36
1
5 36 1 36
0 1
②Y的边缘分布律
Y p
0
5 6
1
1 6
解 （1）放回抽样 ①联合分布律
Y
X
0
25 36 5 36
1
5 36 1 36
0 1
②Y的边缘分布律
X
Y p
0
0
③Y=0条件下X的条件分布律
5 6
1
1 6
p{ X k | Y 0}
y
f ( x , y) 0

x
f ( u, v )dudv
f ( x, y) 为X和Y 的联合概率密度
( X,Y )关于X的边缘概率密度为
fX ( x)


f ( x, y)dy
( X,Y )关于Y的边缘概率密度为
fY ( y)


f ( x, y)dx
已知 X=x的条件下，Y 的条件概率密度：
25 36
5 6
5 36
1
5 6
解 （1）放回抽样 ①联合分布律
Y
X
0
25 36 5 36
1
5 36 1 36
0 1
②Y的边缘分布律
X
Y p
0
5 6
0
③Y=0条件下X的条件分布律
5 6
1
1 6
1
1 6
p{ X k | Y 0}
解 （1）放回抽样 ①联合分布律
Y
X
0
25 36 5 36
1
5 36 1 36
（2）不放回抽样 ①联合分布律
Y
X
0
10 9 12 11 10 2 12 11
1
2 10 12 11 2 1 12 11
0 1
（2）不放回抽样
①联合分布律
Y
X
0
45 66 10 66 55 66
1
10 66 1 66 11 66
0 1
②Y的边缘分布律
Y
p
0
1
（2）不放回抽样
①联合分布律
Y
X
0
45 66 10 66
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 be ( x y ) , 0 x 1, 0 y f ( x , y) 0, 其他 解：
（1）
(
0

1
y
f ( x , y )dxdy 1
( x y)
0
be
dx )dy 1
0 1
④Z=X+Y的分布律
Z X Y
pk
25 36
0
10 36
1
1 36
2
解 （1）放回抽样 ①联合分布律
Y
X
0
25 36 5 36
1
5 36 1 36
0 1
⑤U=max(X,Y) 的分布律
U max( X ,Y )
pk
25 36
0
11 36
1
12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只