2019-2020年高中数学 1.3.1函数的单调性与导数学案 新人教A版选修2-2

2019-2020年高中数学 1.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版

选修2-2

1．掌握函数的单调性与导数的关系．

2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．

基础梳理

1．一般地，可导函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)有如下关系：

成立吗？

解析：不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间内单调递增的充分不必要条件．

(2)利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？

解析：函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．

2．函数单调性与导数值大小的关系

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内，

(1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；

(2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．

自测自评

1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是(D)

A．(－∞，2) B．(0，3)

C．(1，4) D．(2，＋∞)

解析：f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.

2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(D)

A．(2，＋∞) B．(－∞，2)

C．(－∞，0) D．(0，2)

解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的单调递减区间为(0，2)．故选D.

3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有(A )

A ．f (2)

B ．f (e)

C ．f (3)

D ．f (e)

解析：在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1

x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以

有f (2)

基础巩固

1．函数y ＝4x 2

＋1x

的单调增区间是(C )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，1)

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞) 2．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有(A ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0 D ．f (x )≥0

3．下列区间中，使函数y ＝x ·cos x －sin x 为增函数的区间是(B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)

C.⎝

⎛⎭

⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 解析：f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x ·sin x ，当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0.故选B.

4．函数f (x )＝sin x －2x 的递减区间是________．

解析：因为f ′(x )＝cos x －2＜0，所以f (x )在R 上为减函数． 答案：(－∞，＋∞) 能力提升

5．(xx·新课标全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是(D )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

解析：f ′(x )＝k －1x ，由已知得f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)恒成立，故k ≥1

x

，因为x >1，

所以0<1

x

<1，故k 的取值范围是[1，＋∞)．

6．设f ′(x )是函数f (x )的导函数， y ＝f ′(x ) 的图象如下图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是(C )

解析：由f ′(x )的图象可知，x <0或x >2时，f ′(x )>0；0

7．若函数y ＝a (x 3

－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－33，33，则a 的取值范围是________． 解析：由f ′(x )＝a (3x 2

－1)＝3a ⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0的解集为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－33

，33，知a ＞0. 答案：(0，＋∞)

8．(xx·武汉调研)若函数y ＝－43x 3

＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．

解析：∵y ′＝－4x 2

＋a ，且y 有三个单调区间，

∴方程y ′＝－4x 2

＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02

－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)

9．已知函数f (x )＝kx 3

－3(k ＋1)x 2

－k 2

＋1(k ＞0)．若f (x )的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k 的值．

解析：f ′(x )＝3kx 2

－6(k ＋1)x ，

由题知x ＝0或x ＝4为方程f ′(x )＝0的两根， ∴0＋4＝4＝6（k ＋1）

3k

.∴k ＝1.

10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2

－2ax )e x

.设f (x )在区间[－1，1]上是单调函数，求a