无网格法介绍

函数性 MLS形函数不具备 函数性，本质边界条件不易施加
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目
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无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
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无网格法研究主要进展及参考文献
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导出无网格法公式
基于全局弱式的无网格法


MFree全局弱式法中，控制偏微分方程连同其边界条件通过各种技术 转化为一组积分方程，再利用建立在问题域上的全局背景网格进行 数值积分操作而将其弱式转化为一组代数系统方程。 代表方法：无单元Galerkin法(EFG)，无网格径向基点插值法 (MRPIM) EFG特点。优点：具有很好的精度和收敛性，对点的分布不敏感； 缺点：需要背景网格，应用本质边界条件困难，计算效率低。 MRPIM特点。优点：本质边界条件容易施加，插值稳定；缺点：径 向基参数不好确定，计算效率较低，形状函数难于满足全域的相容 性条件。
在移动最小二乘近似（MLS）中，系数a(x)的选取使近 似函数 u h ( x) 在计算点x的邻域内待求函数u(x)在某种最 小二乘意义下的最佳近似。近似函数在节点 xi 处的误差 加权平方和为
令J取最小值，解得待定系数a(x),即可得最小二乘形函数。
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构造无网格形函数
MLS形函数性质
一致性 如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有 C p 一致性 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 单位分解性
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导出无网格法公式
基于局部弱式的无网格法
Leabharlann Baidu


MFree局部弱式法核心是对控制方程在每一个局部子域采用局部加权 残值法，使一个需要在全域求解的问题简化为在各个子域上对局部 伽辽金方程的求解问题,从而避免了全域的数值积分 代表方法：无网格局部伽辽金法(MLPG)，局部点插值法(LPIM) MLPG特点。优点：避免全局数值积分，减小了对背景积分网格依赖； 缺点： “刚度阵”带状但不对称，增加了计算难度，尽管在大部分 的边界积分可通过选用适当的权函数消除掉 ，但在问题域的边界上 或附近,边界积分是不可避免的，使其难以应用于复杂边界。 LPIM特点。优点：更易满足本质边界条件且有较好 的精度和收敛性； 不需满足全域相容性，更有应用前景；缺点：插值力矩阵容易发生 奇异，需要特殊处理。
• Golberg和Chen（1994，1996）研究了径向基函数法（radial basis function，即RBF）
• Atluri（2000）提出了Meshless Local Petrov-Galerkin Method（即MLPG）
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无网格法研究主要进展及参考文献
• Mukherjee（1997）提出势问题的边界点法（Boundary Node Method, 即BNM），并应用于弹性力学问题（1999）。
差分表达式
广义有限差分法（GFDM）
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构造无网格形函数
多项式基点插值法(PIM)形函数
使用多项式作为插值函数是应用最早的差值方法之一。 设定义在问题域中的一连续函数u(x)可由一组场节点表 示，在计算点x处u(x)可近似表示为：
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构造无网格形函数
PIM形函数性质

一致性 如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有C p 一致性 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 线形独立性 PIM基函数在支持域上是线性独立的 函数性
无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域 离散的方法。（刘桂荣，2009）
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无网格法概述
无网格法求解过程 （与FEM对比）
FEM和MFree法流程图
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无网格法概述
形成逼近函数 光滑粒子法 移动最小二乘法 单位分解法 重构核粒子法 径向基函数法
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目
1 无网格法概述 无网格法分类
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构造无网格形函数 导出无网格法公式
无网格法研究主要进展及参考文献
无网格法研究主要进展及参考文献
• Lucy（1977） 提出光滑粒子法（Smooth Particle Hydrodynamics method, 即SPH） • Lancaster（1979，1981）较为系统地研究了移动最小二乘法 • Belytschko（ 1994 ）提出无单元Galerkin方法（Element-Free Galerkin method，即EFG ） • Liu（1995）等人提出了重构核粒子法（Reproducing Kernel Particle Method，即RKPM) • Oden（1995）提出了Hp-clouds方法 • Onate（1996）提出了有限点法（Finite Point Method,即FPM ）
• 无网格法. 张雄, 刘岩著. 北京：清华大学出版社，2004.
• 无网格法理论及程序设计. G. R. Liu, Y. T. Gu著；王建明, 周学军译 济南：山东大学出版社，2007
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构造无网格形函数

单位分解性 紧支性 PIM形函数是紧支域中的节点构造的，紧支域外的任意点 处的函数值被认为是0 相容性 在应用PIM形函数时，如使用局部支持域，则全局域上的 相容性将不能保证，即将节点进出或移动支持域时，其场 函数的近似式是不连续变化的

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构造无网格形函数
移动最小二乘(MLS)形函数 同样，在计算点x处u(x)可近似表示为
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无网格法分类
根据函数近似方法分类
•基于移动最小二乘近似的无网格法 扩散单元法（DEM），无单元Galerkin法（EFG） ，无网格局部 Petrov-Galerkin法（MLPG） •基于积分形式近似无网格法 光滑粒子流体动力学法（SPH），再生核粒子法（RKPM） •基于点插值无网格法 多项式基点插值法（PIM）,径向基点插值法（RPIM） •基于其他近似方法的无网格法 基于自然邻节点插值的自然单元法（NEM），hp云法，单位分解 法（PU）
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无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
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无网格法研究主要进展及参考文献
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构造无网格形函数
无网格插值技术分类 分类 积分表达式 无网格近似技术 光滑粒子动力学法（SPH） 再生核粒子法（RKPM）
级数表达式
移动最小二乘（MLS）
点插值法（PIM,RPIM） 单位分解法（PU）
• Atluri（1998）提出局部边界积分方程方法（Local Boundary Integral Equation，即LBI E），并应用于弹性力学问题（2000）和非线性问题 （1998） • Yao（2002)提出了杂交边界点法（Hybrid Boundary Node Method）
• Liu (2003)提出弱-强式无网格法(Meshfree Weak-Strong Form Method,即 MWS)
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无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
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无网格法研究主要进展及参考文献
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无网格法分类
根据公式导出方法分类



基于弱式无网格法 扩散单元法（DEM），无单元Galerkin法（EFG），再生核粒子法 （RKPM）,无网格局部Petrov-Galerkin法(MLPG)，局部径向基点插值 法（LRPIM）,h-p云法 基于配点技术（强式）无网格法 广义有限差分法（GFDM）,MFree配点法，有限点法（FPM） 基于弱式和配点技术相结合无网格法 MFree弱-强式法（MWS）,光滑粒子流体动力学法（SPH）
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导出无网格法公式
基于弱强式的无网格法


MFree弱-强式法(NWS)的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 局部弱式建立起离散系统方程式，即对不同组别的节点根据其不同 条件分别形成不同类型的方程，其中局部弱式被用于位于或接近导 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 代表方法：MWS MWS特点。MWS法使用最少数量的背景网格用于积分，对各类力学 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。
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无网格法分类
根据域表示法分类
•域型无网格法 扩散单元法（DEM），无单元Galerkin法（EFG）无网格局部 Petrov-Galerkin法（MLPG），自然单元法（NEM），再生核粒子 法（RKPM），径向基点插值法（RPIM） •边界型无网格法 边界节点法（BNM）,局部边界积分方程法（LBIE），边界点插 值法（BPIM）,杂交边界点插值法（HBPIM）
无网格法(MFree)简介
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无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
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无网格法研究主要进展及参考文献
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无网格法概述
无网格法定义
The meshfree method is used to establish a system of algebraic equations for the whole problem domain without the use of a predefined mesh, or uses easily generable meshes in a much more flexible or ‘‘freer’’ manner.(G R Liu,2009)
与基于网格的方法不同 与基于网格的方法相同
形成求解方程
加权残数法
+
变分原理 边界积分方程
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无网格法概述
为何采用无网格法？

形成FEM网格时的计算成本高 应力精度低 自适应分析困难 对某些问题分析的局限性 大变形问题（如冲压变形） 裂纹扩展问题 流固耦合问题 爆炸问题
无网格方法模拟裂纹扩展