大学高数空间直角坐标系

二、在 yoz 面上，求与三个已知点A( 3 , 1 , 2 ) ， B( 4 ,2 ,2 ) 和C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ； 2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)； 3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5), (-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)； 4、( a , a , a ), ( a , a , a ), ( a , a , a ), ( a , a , a ) ； 1 1 5、7, 430 , 262 ； 6、(6,1,19),(9,-5,12)； 2 2 7、(-1,2,4),(8,-4,-2)； 1 4 1 4 1 4 8、 x xi , y yi ,z z i . 4 i 1 4 i 1 4 i 1 二、(0,1,-2).
横轴 x
空间直角坐标系
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 有序数组 ( x , y , z )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
坐标面上的点 A, B , C , z
R(0,0, z )
1 1
O ( 0, 0, 0 )
B(0, y , z )

C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
o
Q(0, y ,0)
y
x
P ( x ,0,0)
A( x , y ,0)
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M2
M1
d M1 M 2 ?
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
例 1 求证以 M1 (4,3,1) 、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
4、已知空间直角坐标系下，立方体的 4 个顶点为 A( a , a , a ) ， B ( a , a , a ) ，C ( a , a , a ) 和 D ( a , a , a ) ，则其余顶点分别为_________，____ __________，__________，_________ ;
B( 2,3,4) , D( 2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
练习题
一、填空题 1、下列各点所在象限分别是：
a、 1 , - 2 , 3在 _________； d、 2 , 3 , 1在 _______;
c、 2, 3 , 4 在 ___wenku.baidu.com____；

P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M2
M1

Q
P
o
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
2
M 3 M1
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
PP2 x 1 12 x 2 2,
三、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3) , C ( 2,3,4) ,
5、已知三角形的三个顶点 A( 2 ,1 ,4 ) ， B ( 3 , 2 , 6 ) ， C ( 5 , 0 , 2 ) 则（1）过 点的中线长为__________; A
（2） B 点的 中线长为________； 过B 点的 中 线 过 （3） 长为___________； 6、已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A( 2 , 3 , 5 ) , B ( 1 , 3 , 2 ) 的及它的对角线的交点E ( 4 ,1 , 7 ) ，则 顶点 D 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标 为_____ ______； 7、若直线段落AB 被点C ( 2 , 0 , 2 ) 及点D( 5 ,2 , 0 ) 内 分为3 等分， 端点 A 的坐标为_________， 端点 B 则 的坐标为_________ .
2、点 p ( 3 , 2 ,1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴 的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是 _________，关于 z 轴的对称点是 _________；
2 2
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
三、坐标轴的平移
将 坐 标 系 坐 标 原 点(0,0,0)平 移 得 到 一 个 新 的 O 坐 标 系 新 的 坐 标 原 点 是 (a , b, c ). , O 空 间 中 任 意 一 点 ( x , y , z )在 新 的 坐 标 系 中 的 M 坐 标 为 ( x , y, z ), 则 点M的 新 旧 坐 标 有 如 下 M x x a , 关 系 ：y y b, z z c. 与平面解析几何相比，只是增加了一个式子。
第六章 向量代数与 空间解析几何
<<工科数学分析>> 北京理工大学 2010-2011学年第二学期
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z
竖轴
z 即以右手握住 轴， 当右手的四个手指
从正向 x 轴以 角 2 度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向 就是z 轴的正向.
定点 o

y 纵轴
b、 2 , 3 , 4 在 ________；
3、点 A ( 4 , 3 , 5 ) 在 xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox 轴上的射影点为_________，在x 轴上 的射影 点为________，在x 轴上 的射影点为______，在 z 轴上 的射影点为_______ ;