2.2 模糊逻辑与近似推理

④模糊逻辑补运算 在二值逻辑中的“非”运算只需将0与1之相对调即可， 而模糊逻辑“补”运算则要通过用1.0与隶属函数运算来完 成。例如： M=“水温中等”
μ M(x) = {x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50
+0.5/60+0.25/70+0/80+0.0/90+0.0/100}
M =“水温不是中等”
M (x ) = {x|1.0/0+0.75/10+0.5/20+0.25/30+0.0/40+0.25/50
+0.5/60+0.75/70+1,0/80+1.0/90+1.0/100 }
3.2 模糊语言变量及其算子
模糊逻辑原则上是一种模拟人思维的逻辑，要用从0到1的 区间上的确切数值来表示一个模糊命题的真假程度，有时是很 困难的。人在日常生活交流中用的自然语言则能用充满了不确 定性的描述来表达具有模糊性的现象和事物。自然语言可以对 连续性变化的现象和事物既进行概括抽象又作模糊分类。要想 用机器来模仿人的思维、推理和判断，扎德教授在1975年提出 了语言变量的概念。语言变量是一种模糊变量，它是用词句而 不是用数字来表示变量的“值”。引进了语言变量后，就构成 了模糊语言逻辑。模糊集的应用为系统地处理不清晰、不精确 概念的方法提供了基础,这样就可以应用模糊集来表示语言变量。 然而语言变量既可用模糊数来表示，也可用语言术语来定义。
P∨P=P ；P∧P=P
②交换律： P∨Q=Q∨P；P∧Q=Q∧P
③结合律：
P ∨ （Q ∨ R） = （P ∨ Q） ∨ R P ∧ （Q ∧ R） = （P ∧ Q） ∧ R
④吸收律：
P ∨ （ P∧ Q ） = P P ∧ （ P∨ Q ） = P
⑤分配分律：
P ∨ （Q ∧ R） = （P ∨ Q）∧（Q ∨ R ）
+0.25/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100}
“或”
“水温中等” ∨ “水温高” = max(μ M(x), μ H(x) ) ={x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50+0.5/60
+0.75/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100 }
（1）模糊数
定义：连续论域U中的一模糊数 F（例如一实线） 是一个U上的正规凸模糊集. 那就是说，以实数集合为全集合，一个具有连续 隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。 通俗地说，就是把那些诸如“大约5”，“10左 右”等具有模糊概念的数值称作模糊数。 这里凸模糊集的直观几何意义是,假设F表示”速 度快”这个模糊集,如下图所示,u1的速度慢， u2的速度 快，那么, u1和 u2连线上的任意点 u的速度都比u1快而 比 u2 慢。
在二值逻辑中函数“与”和“或”的运算比较单纯；但 在模糊逻辑中就有几种不同的方法。下面以“水温中等”和 “水温高”为例，对三种不同的方法进行比较。
①模糊逻辑“与”和“或”运算
“与”
“水温中等”∧“水温高” = min(μ M(x), μ H(x) ) ={x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.25/50+0.5/60
为了能方便地应用于实际，往往就把模糊函数变量 x 分成
若干有限级。这样就可用多值逻辑的方法来处理模糊逻辑问题。
例如，若“水温中等”和“水温高”的隶属函数曲线如图2.4.1
所示，那么，我们可把从0℃到100℃的水温分割成10级，取每 级的隶属度用列举法写出其隶属函数：
μ M(x) = {x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50 +0.5/60+0.25/70+0/80+0.0/90+0.0/100} μH(x) = {x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.25/50 +0.5/60+0.75/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100}
蕴含→表示“如果„那么„”。由于命题P的成立，即可 推出Q也成立，以P→Q来表示。 P→Q =（（1-P）∨Q) ∧1 例 P：甲是乙的父亲； Q：乙是甲的儿女。 则 P→Q：若甲是乙的父亲；那么乙必定是甲的儿女。
例： P：水箱温度偏低， Q：蒸汽阀门被开得较大。 则 P→Q：若水箱温度偏低，那么蒸汽阀门被开得较大。
“速度”为一语言变量，可以赋予很慢，慢，较慢，中等， 较快，快，很快等语言值。这里用不同的语言值表示模糊变 量速度形态程度的差别，但无法对他们的量做出精确的定义， 因为语言值是模糊的，所以可以用模糊数来表示。在实用中， 为了方便于推理计算，常常还要用模糊定位规则，把每个语 言值用估计的渐变函数定位，使之离散化，定量化和精确化。 这样项集合就可以写成这样的形式： T（速度）={快、中速、慢、非常慢} 其中项集合 T（速度）中的每一个左右项都与论域U中的一 个模糊集对应。我们可以把“慢”看成低于50km/h的速度； “中速”为接近70km/h；“快”为高于90km/h。以四个项为 例，这些项可用隶属函数如图所示的模糊集来表示。
3.1 模糊逻辑
从17世纪德国数学家莱布尼兹开始，不少数 学家和哲学家共同努力，把数学方法用于哲学的 研究，出现了逻辑与数学相结合的一门新学科— 数理逻辑。数理逻辑又称为符号逻辑，是一种二 值逻辑。 在模糊逻辑的发展过程中，首先突破了二值 逻辑，在二值逻辑的基础上，扩展成了多值逻辑， 模糊逻辑是在多值逻辑基础上发展起来的。
②模糊“有界积”和“有界和”运算 “有界积”： “水温中等” ⊙“水温高” = max(μ M(x)+ μ H(x)-1，0 ) ={x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.0/50 +0.0/60+0.0/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100 }
“有界和”： “水温中等” ⊕ “水温高” = min(μ M(x)+ μ H(x)，1 ) ={x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+1.0/50 +1.0/60+1.0/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100 }
③模糊“代数积”和“代数和”运算 “代数积”： “水温中等” ד水温高” = μ M(x) × μ H(x ) ={x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.19/50 +0.25/60+0.19/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100 }
“代数和”： “水温中等” + “水温高” = μ M(x)+ μ H(x)- μ M(x) × μ H(x ) ={x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.81/50 +0.75/60+0.81/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100 }
模糊逻辑可在[0，1]闭区间上连续取值，认为事物在 形态和类属方面具有亦此亦彼模棱两可的模糊性，其真值 也是模糊的。承认从0→1 之间有无穷多个相互渗透的中 介。它为自然语言的语意表达提供了一个具有充分弹性的 自然系统工具。可以处理几乎有无穷多个“大多数”， “很少”，“多于10个”等这样的模糊量词。然而为方便 起见，模糊逻辑往往借助多值逻辑来表示。
例 设有模糊命题 P：他是个和善的人，它的真值P＝0.7； Q：他是个热情的人，它的真值Q＝0.8。
则：
P∧Q ：他既是和善的人又是热情的人的真值 P∧Q =min（P，Q）
P∨Q ：他是个和善的Biblioteka Baidu或是个热情的人的真值
P ∨ Q =max（P，Q） P→Q ：如果他是个和善的人，则他是个热情的人的真值
（2）语言变量
定义：语言变量用一个有五个元素的集合 （X，T(X)， U，G，M）来表征，其中X是语言变量名；T(X)为语言变量 X的项集合，即语言变量的名集合，且每个值都是在 U上定 义的模糊数 xi ，U为语言变量X的论域；G为产生x数值名的 语言值规则，用于产生语言变量值的；M为与每个语言变量 含义相联系的算法规则。它们的相互关系可用下图表示，语 言变量通过模糊等级规则，可以给它赋予不同的语言值以区 别不同的程度。
②析取∨ 是“或” 或“并”的意思，如果用P、Q分别表 示两个命题，则由析取联结词构成的复合命题表示为P ∨ Q。复合命题P ∨ Q的真值是由两个简单命题的真值来决定 的，仅当P和Q都是假时，P ∨ Q才是假。 P ∨ Q =max（P，Q） 例 P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。 则 P∨Q：他喜欢打篮球或喜欢跳舞。
P P max( P ,1 P)
P P min( P , 1 P)
利用这些基本公式就可化简模糊逻辑函数，以便根据化简 得到的结果来组成最简单的模糊逻辑控制电路。
2.4.2 模糊逻辑函数运算
二值逻辑只可能取两个值0和1，这两个值都有确切的意义， 例如它们分别代表开关的“断开“和“接通”、电平的“低” 和“高”等。但在模糊逻辑中，其真值可取从0到1之间的无穷 多个任意值。这在实际问题应用中就难以处理。
二值逻辑：
二值逻辑也称为布尔逻辑。只取真，假，即非此即彼 的逻辑，用一整套符号代替人们的自然语言。
多值逻辑：
认为逻辑真值具有离散的中间过渡，通过穷举中介的 方法表示过渡性，其真值可以是0→1的任何值。多值逻辑 本质上是一种精确的逻辑。
模糊逻辑：
模糊逻辑是在多值逻辑基础上发展起来的。用带有模 糊限定算子（例如：很，略，比较，非常等）的从自然语 言提炼出来的语言真值（例如：年轻，非常年轻等）或者 模糊数（例如，大约25，45左右等）来代替多值逻辑中命 题的确切数字真值，就构成模糊语言逻辑。
①合取∧是“与” 或“交”的意思，如果用P、Q分别表示 两个命题，则由合取联结词构成的复合命题表示为P∧Q。 复合命题P∧Q的真值是由两个简单命题的真值来决定的， 仅当P和Q都是真时，P∧Q才是真。 P∧Q =min（P，Q） 例 P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。 则 P∧Q：他喜欢打篮球并且喜欢跳舞。
2.4.1模糊逻辑基本运算
模糊命题是普通命题的推广。概括起来，模糊逻辑是研究 模糊命题的逻辑，而模糊命题是指含有模糊概念或者是带有模 糊性的陈述句。模糊命题有真值不是绝对的“真”或“假”， 而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值， 而是有多个值，甚至是连续量。普通命题的真值相当于普通集 合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所 以真值的运算也就是隶属度函数的运算。 模糊逻辑的基本运算是通过连接词：“∨、∧、—、→、 ↔ ”将原子命题组成复合模糊命题。
（3）语言算子
虽然语言变量与我们熟悉的数值变量不同，数值变量的结 果是精确的，但是对模糊的自然语言形式化和定量化，进一步 区分和刻画模糊值的程度，常常还借用自然语言中的修饰词， 诸如“较”，“很”，“相当”，“极”等来描述模糊值，为 此引入语言算子的概念。语言算子常常又分为三类：语气算子， 模糊化算子和判断化算子。
P ∧ （Q ∨ R） = （P ∧ Q）∨（Q ∧ R ） ⑥双否律：
PP
⑦德•摩根律：
P Q P Q P Q P Q
⑧常数运算法则： P ∨1 = 1；P ∨ 0= P P ∧1 = P；P ∧ 0= 0
注意： 与二值逻辑不同之处是二值逻辑中的互补律，
P P 1 , P P 0 。在模糊逻辑中互补律是不成立，模 糊逻辑的互补运算满足
P→Q =（（1-P）∨Q) ∧1
④否定—是对原命题的否定。如果用P是真的，则 P 是假的。
例
P (1 P ) P：他喜欢打篮球：则 P ：他不喜欢打篮球。
⑤等价↔表示两个命题的真假相同。是“当且仅当”的意 思。 P↔Q=（P→Q）∧（Q→P） 例 P：A是等边三角形； Q：A是等角三角形。 则 P↔Q ：A是等边三角形当且仅当A是等角三角形。 如果是P那么是Q,并且有如果是Q,那么是P。
⑥模糊逻辑有界积：
P Q ( P Q 1) 0 max( P Q 1, 0)
⑦模糊逻辑有界和：
P Q ( P Q) 1 min( P Q ,1)
⑧模糊逻辑有界差：
PQ ( P Q) 0
根据以上模糊逻辑的基本运算定义，可以得出以下模糊逻辑 运算的基本定律 ①幂等律：