§10.2 二重积分的计算法(一)

0
1
分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷) 化为二次积分,交换积分次序
0 ( 1
1
x
e
y
2
dy )dx
0 d x 1
1
x
e
y
2
dy dx e
0 x
1
1
y
2
dy
0 x 1 : x y 1
0 y 1 DY : 0 x y
DX
1 0
0 x 1 : x y 1
1 y
2

0 y 1 DY : 0 x y
y 2 y
2

x dx e
2 x
dy
3

1 0
dyFra Baidu bibliotek x e
0
dx
1 6 2 e


1
e
y
2

y
0
3
dy

1
e
y
2

y
2
dy
2

(1
).
0
6
20/24
A( x) A( x) dV A ( x )dx
体积元素 体积为
V
a A ( x ) d x
b
o
a
x
x dx
b
x
3/24
一、利用直角坐标系计算二重积分
1. [预备知识]
(1)［X－型域］
y 2( x)
a x b,
1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2( x)
o a
x
b
x

9/24
(2) 若积分域为Y 型域 :
y x y 1
c y d,
1 ( y ) x 2 ( y ).
2( y)
1(
d
y c
o
D
x 2 y

D
f ( x, y )dxdy
c
d
dy

x
f ( x, y )dx
.
y)
2
1
]y dy
2
2

1 ( 2 y
2
y
3
)dy 1
1 8
o
1
2
x
2
12/24
例2
计算

D
y 1 x y d , D : 由 y x , x 1,
2 2
和 y 1所围闭区域
.
1
y
解
D 既是X—型域又是—Y型域
1 x 1 : x y 1
D D
上式称为先对
y 后对 x 的二次积分
几点小结

D
f ( x, y )dxdy
a [ ( x )
1
b
2 ( x)
8/24
f ( x , y ) d y ]d x
计算方法
① 通过体积作为过渡
, 实现了二重积分的一种
通过计算两次定积分 (单积分)来求解.
② 二重积分的计算关键是 定限：
I

x
0
1
dy
y y
2
sin y y
dx
1
0
1
sin y y
( y y )dy
2
练习 课本P154 第5题 第6题
0 sin
1
ydy
0 y sin
ydy
1 cos 1 (cos 1 sin 1) 1 sin 1 .
21/24
补例2
计算积分
I
| y x | d , 其中 D 为 :
D
y 1( x)
a
b
D
y 1( x)
a
b
其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续.
[X—型区域的特点] 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
4/24
(2)［Y－型域］
c y d,
1 ( y ) x 2 ( y ).
y
2
x dx 5
5 8
法2
视为X—型域 则必须分割
x

1
D D1 D 2
0 x 1 D1 : x y
1 x 4 D2 : x 2 y
x
x
xy d
D


D1


D2
0 d x
x x
xy d y
1
4
dx
z f ( x , y ) 为曲顶的曲顶柱体的体
方法
根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积 为已知的立体的体积”的方法来求.
x0 [ a , b ]
作平面 x x0
x 0 [a , b ]
作平面
x x0
7/24
z
x) yy 2((x)
2
z
zz f f( ( x, y) x, y)
16 3
R
18/24
例5
应用二重积分求由曲线 所围区域 D 的面积
y x ,y x2
2
解
据二重积分的性质4（几何意义） 交点
y x y x 2
2
d xd y
D

( 1,1) ， 2 , 4 ) (
DX
1 x 2 : 2 x y x 2
随堂练 sin 习 1.计算
D
y
y
d xd y
y x
1
y
y
x
其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y2 = x 所围成.
o 1 (按先y后x积分次序计算) 解 1 x sin y I dx dy 积不出的积分，无法计算。 0 x y (改变积分次序 按先x后y积分次序计算) ,
f f x , y ,) d ) d y ( ( x0 y y
bb 2 ( x 2 ( x ) )
1
1
V
a A ( x ) d x
公式1
b
即得
( x, y dx ff ((x, y )d a x( (fx )( xf, y )dy ])dy. x d a [ d x )
y
1 y y=x D o －1 1
原式

1 1
dy
y 1
y 1 x y dx
2 2 y 1
x


1 1
yd y
1 x y dx
2 2
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便 注意两种积分次序的计算效果！
14/24
例3
计算

D
xy d , 其中 D ：由 y x 及 y x 2 所围闭区域
2 2
D y=x
－1
x
o
1
法1
上式
x
DX

1
1
dx y 1 x y dy
x
1

1 2

1
1
d x ( 1 x y ) 2 d (1 x y )
2 2
1
1
2
2
x

1 2
13/24
法2
1 y 1 DY : 1 x y
－1
2 D
0 x 1, 0 y 1 .
作业:－1 x 1
分析
当被积函数中有绝对值时，要考虑 y 积分域中不同范围脱去绝对值符号。1
y x 将 D 分为两部分
2
y x
2
D1 和 D 2 :
D1
D2
解
I

D1
( y x )d
2

D2
( x y )d
2
o
R x
2 2
解
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z
o
R
y
0 x R ( x, y ) D X : 2 2 0 y R x
x
2 2
R x
2 2
则所求体积为
8
R 2 0 R 0
R x d x
2
dy
3
0
8 ( R x ) d x
由二重积分积分区域的可加性得

D


D1


D2


D3
.
6/24
2.【二重积分公式推导】
(1) 若积分区域为X－型域： a x b,
且设 f ( x, y ) 0
1 ( x) y 2 ( x).
则

D
f ( x , y ) d 的值等于以
D 为底，以曲面 积．
公式2
即化二重积分为先对
x 后对 y 的二次积分
3.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
10/24
[说明] (1) 使用公式1必须是X－型域， 公式2必须是Y－型域.
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. (见后续补充例题) (3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域（或Y-型域）
1
2
d x xy d y
1
x
1
2
[x
2
]1 d x
x
y =1

1
2
(
x
3

x 2
)dx 1
1
o
y
2
y
1 x
2
x
2
解Ⅱ
看作Y－型域
8 1 y 2 DY : y x 2
x=y
D
x=2

D
xy d
1
2
d y xy d x
y
2
1
2
[y
x
x2
xy d y

计算较繁 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
16/24
小结
以上三例说明，在化二重积分为二次 积分时，为简便见需恰当选择积分次 序；既要考虑积分区域 D 的形状，又 要考虑被积函数的特性(易积)
17/24
5.【简单应用】
例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的 体积V. z 设两个直圆柱方程为 2 2 2 2 2 2 x y R , R x z R
1
x

4 15

1 10
补例3
计算
22/24
其中D 由
y
2 y 4 x , y 3x , x 1 所围成.
分析 解
利用对称性与奇偶性 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y )
2
4
y 4 x
2
D1
y 3 x
D D1 D2 (如图所示)
o
D2
d
补例4
证明 : f 1 ( x ) f 2 ( y ) d
D
a
b
f1 ( x ) d x f 2 ( x ) d x ,
c
D : a x b, c y d .
课本P154 第3 题
23/24
补例 5 解Ⅰ
解Ⅱ 原式=
DX
设 f (x)

1
x
e
t
2
d t ，求 f ( x ) d x .
y
2 ( x0 )
y
A( ( x) ) Ax0 0
oo
a a
1 ( x0 )
x0 x0
xx 1 ( ( x b b y y 1x) )
1 ( x0 )
2 ( x0 )
A x A ((x 0))
2( ( x 0 ) 2 x)
1 ( x 0 ) 1(x)
1
x
显然, 在 D1上 ,
在 D2上 ,
I
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )
1 y ) d xd y x ln( y
2 D2
x 1
1 y ) d xd y
2
x ln( y
D1
0
与积分变量无关
1/24
§10.2 二重积分的计算法（一）
一
二
利用直角坐标计算二重积分
小结 思考题
复习与回顾
(1)二重积分
D
2/24
f ( x , y ) d lim
0
n
f ( i , i ) i
i 1
(2)回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 在点x处的平行截面的面积为:
d
d
x 1( y)
D
x 2( y)
x 1( y)
D
x 2( y)
c
c
[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
5/24
(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
D1
D3
D2
y
D1
D2 D3

D


D1


D2


D3
o
x
4. 【例题部分】
例1 解 Ⅰ
计算
11/24
xy d , 其中 D ：由 y 1, x 2 及 y
D
x 所围闭区域
.
看作X－型域 D X
1 x 2 : 1 y x
y
y=x
y
2
D

D
xy d
y y
2
原式 d y e

1
2
dx
x2
2
dy
x
1
9 2
2
( x 2 x )dx
2
与定积分元素法相同

6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题
补例1 解

19/24
计算二次积分 0
1
x dx e
2 x
1
y
2
dy 。
e
y
2
d y 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序（改变积分次序）
投影穿线法
1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x)
定限口诀
D X : a x b,
后积先定限(投影)
(后积变量上下限必为常数)
该线平行于坐 标轴且同向
限内划条线(穿线)
先交下限写 后交上限见
y
D
y 1 ( x)

D
2 ( x) b f ( x, y )d d x f ( x, y ) dy 1 ( x) a
2
.
解
D既是X—型域 又是Y—型域
先求交点
y x 由 (1, 1) 或 (4,2) y x 2
2
15/24
法1
1 y 2 DY : 2 y x y 2
xy d
D




2
1
dy
y2 y
2
xy d x
y2
2
1
yd y