静电场与恒定电场

量
R r r'
R r r' (x x')2 (y y')2 (z z')2
故（2-4）式也可写成
E(r)
q(r
4 0
r') r r'
3
（2-5）
❖ 如果真空中有n个点电荷，则r点处的电场强度可由
叠加原理计算。即真空中n个点电荷在r点处的电场
强度，等于各个点电荷单独在该点产生电场强度的
0
1 36
10 9
8.854 1012 (F
/ m)
◆库仑定律揭示的意义
❖ 真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小 与它们的电量和的乘积成正比；与它们之间的距离 的平方成反比；力的方向沿着它们的连线，同号电 荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。
◆ 库仑定律只能直接用于点电荷
❖ 点电荷，指当带电体的尺度远远小于它们之间的距 离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。实际带 电体分布在一定的区域内，称为分布电荷。
S' 4 0 R2
（2-11）
E(r) l (ri ')l'eRi l (r')eR dl'
i1 4 0 Ri 2
l' 4 0 R 2
（2-12）
【例2-1】 已知一个半径为a的均匀带电圆环，求轴
线上任意一点的电场强度。
【解】选择圆柱坐标系，如图2-3，圆环位于xoy平 面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为l 。 则
❖ 体电荷密度的定义为
(r) lim q
V 0 V
体电荷密度的单位为：C / m3 。
❖ 电荷面密度为：
S
(r
)
lim
S 0
q S
（2-7） （2-8）
其单位为C：/ m2 。
❖ 电荷线密度为：
l
(r
)
lim
l 0
q l
其单位为：C / m 。
（2-9）
❖ 引入连续分布电荷概念后，也可将点电荷当作分布 电荷看待，其体密度为无穷大，
(z2 a2 )3/2
ad'
a l 2 0
(a 2
z z2 )3/2
ez
z
P
z
R
o a
x
y dq
图2-3 带均匀线电荷的圆环
2.2 电位
一、静电场的无旋性
❖ 根据体电荷的场强表达式来推导静电场的旋度。
E(r) (r')eR dV '
V ' 4 0 R 2
1 (r')( 1 )dV '
第二章 静电场与恒定电场
2.1 库仑定律 电场强度
一、库仑定律
❖ 库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作
用的实验定律，如图2-1所示，点电荷 q1对 q2的作用
力F可表示为
F21
q1q2 4 0 R 2
eR
q1q2 4 0 R3
R
(2-1)
❖
是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常
0
数（电容率），其值为
4 0 V '
R
1 (r')
4
0
V'
R
dV '
(r)
❖ 式中，括号内的函数是一个标量函数，这表明电场 强度E可以用一个标量函数的梯度来表示。对上式 两边同时取旋度
E ()
由矢量分析中的零恒等式 0 知，静电场的旋
度恒为零，即
E 0
（2-13）
❖ 由斯托克斯定理知 cE dl s E·dS 0
E(r) (ri ')V 'eRi (r')eR dV '
i1 4 0 Ri 2
V ' 4 0 R 2
其中，体积分为电荷所在区域。
（2-10）
❖ 同理，连续分布的面电荷和线电荷产生的电场强度 分别为
E(r) s (ri ')S'eRi s (r')eR dS'
i1 4 0 Ri 2
(r)可用 函数来表示。对于单位点电荷，定义 函
数为
(r)
(r
r )
0
r r r r
V
(r)dV
V
(r
r )dV
0 1
r r r r
另外， (r r)具有抽样特性，即
V f (r) (r r)dV f (r)
❖ 当电荷是连续分布时，它在空间任意一点产生的电 场可以通过积分的方法求得：首先将连续分布的体 电荷分割为无数多的小体积元，由于体积很小，可 视为点电荷，故连续分布的体电荷在空间r 处的电 场强度可视为一系列点电荷产生的电场强度的叠加， 从而得出 点的r 电场强度为
◆ 库仑定律是大量实验的总结
❖ 真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两之间的作 用力，不受其他电荷存在与否。
电荷所受到的作用力是空间其余电荷单独存在时作 用力的矢量代数和，即
Fi
பைடு நூலகம்
ji
qi q j
4 0 Ri3j
Rij
（2-2）
❖ 这说明电荷之间的作用力满足线性叠加原理。
二、电场强度
❖ 库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力的大小 和方向，但没有表明这种作用力是如何传递的。
cE dl 0
（2-14）
❖ 表明静电场是无旋场（保守场），电场强度E沿任 一闭合曲线的线积分均恒为零，静电场中不存在旋 涡源。
r zez
r' aer a cos'ex a sin 'e y
R r r' (z2 a2 )1/ 2
eR
R R
r
r' R
dl' ad'
所以轴线上任意一点的电场强度为
E(r)
l (r')eR l' 4 0 R2
dl'
l 4
0
2 0
ze z
a cos'ex a sin'ey
1），可以得到位于点处的点电荷在处产生的电场
强度为
z
（2-4） E(r)
q 4 0 R 2
eR
qR 4 0 R3
(x’,y’,z’)
R
r’
(x,y,z)
将电荷所在点称为“源点”，
r
O
y
源点的位置用带撇号的坐标
x
或位置矢量表示
图2-2 场点和源点
❖ 将观察点称为“场点”，场点的位置用不带撇号的
坐标(x, y, z) 或位置矢量表示。则源点到场点的距离矢
叠加。即
E(r)
n i 1
Ei (r)
n i1
qi
4 0
Ri
2
e
Ri
（2-6）
❖ 电子是自然界中最小的带电粒子之一，任何带电体 的电荷量都是以电子电荷量的整数倍数值量出现的。 从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间的。 但从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒 子密集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以 连续分布的形式充满于该体积中。基于这种假设， 我们用电荷体密度（即体电荷密度）来描述电荷在 空间的分布.
❖ 电场对处在其中的任何电荷都有作用力，称为电场 力。电荷间的相互作用力就是通过电场传递的。
❖ 空间任意一点的电场强度定义为该点的单位正实验
电荷所受到的作用力。
F (r)
E(r) lim
q q0 0
0
（2-3）
❖ 实验电荷是指带电量很小，引入到电场内不影响电
场分布的电荷。由两个点电荷间作用力的公式（2-