新课程高三数学第一轮考点函数与方程复习课件

，∴0<m≤1.
1 ③当 m＝0 时原函数的零点为 x＝ >0，故选 D. 3
(1)这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一定要 注意结合图象，从判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大 小、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件． (2)函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题 解决，也可用数形结合法.
此类方程根的分布问题，通常有两种解法．一 种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思 想结合图象求解，二是构造两个函数分别作出 图象，利用数形结合法求解．此类题目也体现 了函数与方程、数形结合的思想.
变式迁移 2
(2008·上海高考)方程 x2＋ 2x－1＝0 的解
1 可视为函数 y＝x＋ 2的图象与函数 y＝ 的图象交点的横坐 x 标．若方程 x4＋ax－4＝0 的各个实根 x1，x2，…，xk(k≤4)所 4 对应的点(xi， )(i＝1,2，…，k)均在直线 y＝x 的同侧，则实数 xi a 的取值范围是________．
解析：本题是考查了利用二分法求零点的有关 知识． ∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连接函数，且f(0)<0， f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点．且 第二次验证时需验证f(0.25)的符号． 答案：A
4．函数y＝(x2－2x)2－9的图象与x轴交点 的个数是________． 解析：令y＝0，(x2－2x＋3)(x2－2x－3) ＝0，∵x2－2x＋3>0，∴x2－2x－3＝0， 解得x＝－1或x＝3，即方程f(x)＝0只有 两个实数根． 答案：2
内的一个零点(精确度 0.1)．
解：依据二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤． 由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0， f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， ∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点， 取区间[1,1.5]作为计算的 初始区间， 用二分法逐次计算列表如下：
端(中) 点坐标
，
4－2(p－2)－2p2－p＋1≤0 即 4＋2(p－2)－2p2－p＋1≤0
2p2＋3p－9≥0 整理得： 2 2p －p－1≥0
，
3 解得：p≥ 或 p≤－3. 2 ∴二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数 c，使 3 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是(－3， )． 2
－2.1875 －0.2148 －
根据上表计算知，区间[－2.25，－2.1875]的长 度是0.0625<0.1，所以原方程的近似解可以是 －2.1875.
【例4】 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x ＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点 右侧，则实数m的取值范围是 ( ) A．(0,1] B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，1]
思路分析：本题是函数零点的问题，由函数零 点的定义判断即可．
1 1 解析： 由题意， f( )·f(1)>0 且 f(1)·f(e)<0， f′(x)＝ － 得 又 e 3 1 ，当 0<x<3 时，f′(x)<0，f(x)在(0,3)上单调递减．所以 D 正 x 确．故选 D.
答案：D
本题是江苏版数学必修1第81页习题2“求证：方 程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)内，另 一个在区间(1,2)内”的一个改编题．考题将方 程改成了一个函数，方程的根就变成了函数的 零点，将证明题改成了一个选择题．考题更加 直接明了地考查函数的零点的判断，没有设计 其他求解的障碍.
用二分法求函数的零点的近似值，使精确度为 正数ε，指将零点的初始值区间[a，b]逐次二等 分所得的区间[a′，b′]满足|a′－b′|<ε， 此时，取[a′，b′]的一个端点值a′(或b′)作 为函数的零点的近似值即可.
变式迁移 3 求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确 度0.1)． 解：由于f(－2)＝－1<0，f(－3)>0，故取区间 [－3， －2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算， 列表如下： 区间 [－3，－2] [－2.5，－2] [－2.25，－2] [－2.25，－ 2.125] 中点 －2.5 －2.25 －2.125 中点函数 值 1.25 0.0625 －0.4844
＝0化为－a＝x3－，作出f(x)＝x3－图象如右 图所示．由图象特征知当－a>f(2)或－ a<f(－2)时满足条件，∴a>6或a<－6即为所 求．故填(－∞，－6)∪(6，＋∞)． 答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)
【例 3】
3 用二分法求函数 f(x)＝x －x－1 在区间[1， ] 2
3
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D) )的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有 零点 ．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0 ， 那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点， 即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也 就是f(x)＝0的根．
解析：由于直线 y＝－ax＋4 过点(0,4)，所以由幂函数的 图象知直线 y＝－ax＋4 与 y＝x4 有且只有两个交点． ∴方程 x4＋ax－4＝0 有两个根且一正一 4 负． x1>0， 2<0， 设 x 若这两根对应点(xi， )(i xi 4 ＝1,2)均在直线 y＝x 上方，则 xi<x ，则 i 4 0<x1<2，x2<－2；当(xi， )(i＝1,2)均在直 xi 4 线 y＝x 下方时，xi>x ，则 x1>2，－2<x2<0.将方程 x4＋ax－4 i
1．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的 零点 ( ) A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个 答案：B
2．如下图所示的函数图象与x轴均有交点，其 中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )
A．①② D．③④ 答案：B
B．①③
C．①④
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时， 第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零 点x0∈________，第二次应计算________．以 上横线上应填的内容为 ( ) A．(0,0.5) f(0.25) B．(0,1) f(0.25) C．(0.5,1) f(0.75) D．(0,0.5) f(0.125)
2
9 当－1≤x≤1 时，0≤f′(x)≤ ， 2 ∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数， ∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．
【例2】 (1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有 一个零点，求实数a的值； (2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数 a的取值范围． 思路分析：(1)二次项系数含有字母，分类讨论 即可． (2)利用函数图象求解．
【例 1】 ＝f(x )
1 (2009·天津卷)设函数 f(x)＝ x－lnx(x>0)，则 y 3 ( )
1 A．在区间(e，1)(1，e)内均有零点 1 B．在区间( ，1)(1，e)内均无零点 e 1 C．在区间(e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 1 D．在区间( ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 e
解：(1)若 a＝0，则 f(x)＝－x－1， 令 f(x)＝0，即－x－1＝0，得 x＝－1，故符合题意； 若 a≠0，则 f(x)＝ax2－x－1 是二次函数； 故有且仅有一个零点等价于 ∆＝1＋4a＝0， 1 解得 a＝－ ， 4 1 综上所述 a＝0 或 a＝－ . 4
(2)若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点． 即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2| ＝－a有四个根． 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a. 作出g(x)的图象，由图象可知如果要使 |4x－x2|＝－a有四个根， 那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点． 故需满足0<－a<4，即－4<a<0. ∴a的取值范围是(－4,0)．
变式迁移 1
2 3 判断函数 f(x)＝1＋4x＋x － x 在区间[－ 3
2
1,1]上零点的个数，并说明理由．
2 4 解：∵f(－1)＝1－4＋1＋ ＝－ <0， 3 3 2 16 f(1)＝1＋4＋1－ ＝ >0， 3 3 ∴f(x)在区间[－1,1]上有零点． 9 12 又 f′(x)＝4＋2x－2x ＝2－2(x－2) .
5．已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－ 2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个 实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围．
解：二次函数 f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数 c， 使 f(c)>0 的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个 x 都有
f(1)≤0 f(x)≤0，∴ f(－1)≤0
1 解法一：取 m＝0，有 f(x)＝－3x＋1 的零点 x＝ >0，即 m 3 ＝0 符合题设，所以排除 A、B；当 m＝1 时，f(x)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2，它的根是 x＝1 符合要求，排除 C.故选 D.
解法二：∵f(0)＝1， ∴①当 m<0 时必成立，排除 A、B. ②当 m>0 时，要使与 x 轴交点至少有一个在原点右侧， 则 m>0 ∆＝(m－3)2－4m≥0 m－3 － 2m >0
(x1,0) 一个零点
无交点
无零点
3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函 数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而 得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定 精确度ε； 第二步，求区间(a，b)的中点x1； 第三步，计算 f(x1) ； ①若 f(x1)＝0 ，则x1就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)<0 ，则令b＝x1(此时零点x0∈(a， x1))； ③若 f(x1)·f(b)<0 ，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1， b))； 第四步，判断是否达到精确度ε；即若|a－b|<ε， 则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、 四步．
变式迁移 4 若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4 ＝0的两实根α，β满足0<α<1<β<2，则实数t的 取值范围是________． 解析：依题意，函数f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4的 两个零点α，β满足0<α<1<β<2，且函数f(x)过 点(0,4)，则必有
考 纲 要 求 热 点 提 示
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点 与方程根的联系，判断一元二次方程根 的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法 求相应方程的近似解. 本节的复习，应充分利用二次函数的图 象，理顺三个“二次”的关系，进而把 握函数与方程之间的关系，重点解决： (1)三个“二次”的关系；(2)函数的零 点；(3)用二分法求方程的近似解.
中点函数 值符号
零点所在区 间 [1,1.5]
|an－ bn| 0.5 0.25
1.25 1.375 1.3125
f(1.25)<0 f(1.375)>0
[1.25,1.5]
[1.25,1.375] 0.125
[1.3125,1.37 0.062 f(1.3125)<0 5] 5
百度文库
∴|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1， ∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间 [1.3125,1.375]内，故函数零点的近似值为 1.3125.
在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？ 提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至 少有一个c，还可能有其他根，个数不确定. .
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与零点的关系
∆>0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图 象
∆＝0
∆<0
与x轴的 交点 零点个数
(x1,0)，(x2,0) 两个零点