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M O (F ) F d
+
﹣
O O—矩心
单位：N· m
注意：力对点的矩是度量在力的作用下，刚体绕该点（矩心）转动效果的。
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课题二
概述
平面力系
第一节平面汇交力系合成和平衡的几何法第二节平面汇交力系合成和平衡的解析法
第三节力矩、力偶的概念
第四节力偶的性质平面力偶系的合成与平衡
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概述
平面汇交力系
平面基本力系
平面力偶系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。如：起重机挂钩所受的力系
F1 = Gcot30°=5× cot30°= 8.66（kN） F2 = G /sin30°=5/ sin30°= 10（kN）
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几何法解题步骤： ①根据题意确定研究对象； ②画出受力图； ③选择适当的比例尺，作力多边形； ④求出未知力（从多边形上量取或解多边形）。
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F
F1
F2
平面力偶系: 在某一平面内只作用有几个力偶的力系。如：多轴钻床上工件所受的力系研究方法：几何法、解析法
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第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 F1 F1 F2 A F4 F3
F4 A
F2 F1 F3
F2
F3
FR
F4
结论：FR=F1+F2+F3+F4 即： FR=∑F 即：平面汇交力系的合力等于个分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
B
B
F
O
F2y F3y F4y
二、合力投影定理
FRy
y
FR a F1 b O F1x FRx
e F 4
F3 F2 c F2x F4x
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d
F1y
F3x
x
由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：
∑Fx =F1x+F2x+F3x+F4x= FRx ∑Fy=F1y+F2y+F3y+F4y=FRy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各力在同一上投影的代数和。
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三、平面汇交力系合成的解析法
平面汇交力系合成的结果为一合力，合力的大小为：
2 2 FR FRx FRy (

FX ) 2 （

2 FY）
方向：tanθ=
FRy FRx
θ为合力与X轴所夹锐角
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B
A
解：①先取B为研究对象,画受力图。建立坐标系, 列平衡方程 ∑Fx=0 F1－FBCcos45°=0
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y FBC
B
解得： FBC= F1/cos45°=141.4（N）
45° F1 FBA x
②再取C为研究对象并画受力图建立坐标系,列平衡方程
∑Fx’=0 FCB －F2cos30°=0 且FBC=FCB 解得：F2=163.3（N）
四、平面汇交力系平衡的解析法从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。即：
FR
2 2 FRx FRy
(

FX ) 2 （

2 FY） 0
｛
∑Fx=0 ∑Fy=0
为平衡的充要条件，也叫平衡方程。
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例2 已知：重物G=20kN用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上。转动绞车，重物便能升起，如图所示。若滑轮中的摩擦和半径可略去不计。求：当重物处于平衡状态时拉杆AB及支杆CB所受的力。 A 30° 30° C y D G
第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
Fx=Fcosα =Fsinβ ；
Fy=Fsinα =Fcosβ
注意：α 、β 分别为F与x 、 y轴正向的夹角，其为钝角时，相应投影必为负值。即投影为代数量。 y y F2 β A Fx b x O α F F1 x
Fy
b' a'
β α A a
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例1 已知：支架ABC由横杆AB与支撑杆BC组成，如图所示，A、B、C处均为铰链连接，销钉轴 B上悬挂重物，其重力G=5kN，杆重不计。求：AB、BC杆所受的力解：取节点B为研究对象，并画受力图 A 1 30° 2 B G F1
B
F2 30° G F1
C
F2
G
由力矢量三角形解：
B
x
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解：①取滑轮B为研究对象 ②画受力图 A 30° 30° B x
③列平衡方程 C
∑Fx=0 : FCcos30°-FA -Fsin30°=0 ∑Fy=0 : FCsin30°-Fcos30°-G=0 即：FCcos30°- FA -Fsin30°=0 FCsin30°-Fcos30°-20=0 D
y'
C FCB F2
x'
FCD
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注意：
①对于只受三个汇交力作用的刚体,且角度特殊时,用几何
法(解力三角形)比较简便。
②对于三个以上力作用的刚体, 一般都用解析法。
③投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知量。
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第三节一、力对点的矩力矩、力偶的概念 A F d B
cosα= F1 /F2=P/2P=1/2 ∴α=60° F1 FD=Q- F2sinα=Q-2Psin60°
FD Q 3P
F2
由②得即：
FD
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例4 已知：铰接四杆机构ABCD,由3根不计重量的直杆组成,如图所示。在销钉B上作用一力F1，销钉C上作用一力F2 ，方位如图所示。若F1 =100N，求平衡力F2 的大小。 C 30° 60° 45° F 2 F1 D
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二、平面汇交力系平衡的几何条件由以上分析可知力系要平衡，必满足： FR=∑F=0。反之，满足此条件，力系必平衡。平面汇交力系平衡的充要条件是： F2 F1 F5 F4 F3
力ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ边形自行封闭
或力系中各力的矢量和等于零
例如：某五个汇交力作用下平衡时的封闭五边形其矢量平衡方程为： FR=∑F =F1+F2+F3+F4+F5=0
G
y y
解得：FC=74.64(kN) FA=54.64(kN)
FA FC
B
x
30°
30° F G
故：AB杆受大小为54.64kN的一对拉力作用，BC杆受大小为74.64kN的一对压力作用。
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例3 已知如图P、Q,求平衡时α=?,地面的反力FD=? 解：取球为研究对象，画受力图。列平衡方程： ∑Fx=0 ∑Fy=0 由①得 F2cosα-F1=0 F2sinα-Q- FD =0 ① ②