八年级轴对称最短路径问题

轴对称：课题学习最短路径问题(第1课时)

一、内容和内容解析

1．内容

从生活中抽象出、转化数学问题，利用轴对称研究某些最短路径问题．

2．内容解析

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究．

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题．

二、教学目标和重难点

知识与技能：利用两点之间线段最短和轴对称知识解决简单的最短路径问题

过程与方法：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想

情感态度与价值观：体会数学与生活的关系，在小组合作学习中培养数学的兴趣

重难点：会用转化思想解决简单的最短路径问题

三、教学问题诊断分析

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手．

解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难．

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到．

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为学生搭建“脚手架”．在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用．本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．

四、教学过程设计

引言

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各

点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉

及到选择最短路径的问题，本节将利用说学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

1．将实际问题抽象为数学问题

问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，

一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图1 中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马

可使他所走的路线全程最短?

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来

被称为“将军饮马问题”．

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

图1

图2 (1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？

师生活动：学生回答——将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线(图2)．

(2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

师生活动：学生先互相交流，尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从A 地出发，

到河边l 饮马，然后到B 地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起

来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问

题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线l 上的一个动点，上

面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(图3)．

图3

B ·

· A l B A

l C B

A

l

设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小

问题”．

2．尝试解决数学问题

问题2 如图3，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线l 上

的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？

师生活动：学生独立思考，互相交流，画图分析，并尝

试回答，相互补充．

如果学生有困难，教师可作如下提示：

(1)如图4，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在

l 上找到一个点，使得这个点分别到点A 与点B 的距离和最短？ (2)对于问题2，如何将点B “移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C ，都保

持CB 与CB′的长度相等？

(3)你能利用轴对称的有关知识，找到(2)中符合条件的点B′吗？

对于(1)，学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题．即：连接AB ，与直线l 相

交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即

为所求；对于(2)(3)，学生独立思考后，尝试画图，寻找

符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，

师生共同补充．得出：只要作出点B 关于l 的对称点B′，

就可以满足CB′＝CB (图5)．再利用(1)的方法，连接AB′，

则AB′与直线l 的交点即为所求．

学生叙述，教师板书，并画图(图5)，同时学生在自己的练习本上画图．

作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；

(2)连接AB ′，与直线l 相交于点C ．

则点C 即为所求．

设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问

题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想．

3．证明“最短”

问题3：你能用所学的知识证明AC ＋BC 最短吗？

先小组讨论十分钟

师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书： B · 图4

l

A ·

l 图5