9.2.3 总体集中趋势的估计

问题 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明 为什么吗？ 提示 三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年， 乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.
1.众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中__出__现__次__数__最__多__的数. (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于__中__间___位置的数.如果个数是偶数， 则取__中__间___两个数据的平均数. (3)平均数：一组数据的__和__除以数据个数所得到的数.
答案 A
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 解析 4＋6＋5＋6 8＋7＋6＝6. 答案 6
[微思考] 一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？ 提示 一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.
题型一 众数、 中位数 、平均数的计算 求解步骤：先排后算
[微训练]
1.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的
众数和中位数分别为( )
A.14，14
B.12，14
C.14，15.5
D.12，15.5
解析 把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，
27，则可知其众数为14，中位数为14.
2.众数、中位数和平均数的比较
名称
优点
缺点
众数
众数只能传递数据中的信息的很少一 体现了样本数据的最大集中点
部分，对极端值不敏感
不受少数几个极端数据(即排序靠 中位数
前或靠后的数据)的影响
对极端值不敏感
与中位数相比，平均数反映出样 任何一个数据的改变都会引起平均数
平均数 本数据中更多的信息，对样本中 的改变，数据越“离群”，对平均数
的极端值更加敏感
的影响越大
教材拓展补遗 [微判断] 1.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( √ ) 2.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.( × ) 3.若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改
变.( × ) 提示 2.样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 3.若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数 可能不变.
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少 数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大， 所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
规律方法 众数、中位数、平均数的意义 (1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和 中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息， 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均 数的影响也越大. (2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据 中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
【迁移1】 (变结论)若例3的条件不变，求数学成绩的平均分.
解
由
题
干
图
知
这
次
数
学
成
绩
的
平
均
数
为ห้องสมุดไป่ตู้
：
40＋50 2
×0.005×10
＋
50＋60 2
×0.015×10
＋
60＋70 2
×0.02×10
＋
70＋80 2
×0.03×10
＋
80＋90 2
×0.025×10
＋
90＋2100×0.005×10＝72(分).
一、素养落地 1.通过学习平均数、中位数和众数的计算及应用，重点培养数学运算素养及数据分析
素养. 2.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序. 3.利用频率分布直方图求数字特征：
(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数左右两边直方图的面积应相等. (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
【训练2】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位： 岁)如下： 甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地 反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地 反映乙群市民的年龄特征？
A.4.55
B.4.5
C.12.5
D.1.64
解析 由条件得－x＝111(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55. 答案 A
3.已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示： 甲：27，m，39；乙：n，32，34，38.
若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则mn ＝________.
解析 因为两组数据的中位数相同，所以 m＝12(32＋34)＝33，由于两组数据的平均
9.2.3 总体集中趋势的估计
课标要求
素养要求
1.结合实例，能用样本估计总体的集 中趋势参数(平均数、中位数、众数). 2.理解集中趋势参数的统计含义.
在学习和应用平均数、中位数和众数的过程 中，要进行运算，对数据进行分析，发展学 生的数学运算素养和数据分析素养.
教材知识探究
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各 抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下： (单位：年) 甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12， 13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
【训练3】 从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布 直方图.
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图估计： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩.
解 (1)最高矩形的高是 0.03，其底边中点是70＋2 80＝75，则这 50 名学生成绩的众 数估计是 75 分. 频率分布直方图中，从左到右前3个和前4个矩形的面积和分别是(0.004＋0.006＋ 0.02)×10＝0.3＜0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6＞0.5，设中位数是m， 则70＜m＜80，则0.3＋(m－70)×0.03＝0.5，解得m≈76.7(分)，即这50名学生成绩 的中位数约是76.7分.
解析 把两组数据按从小到大的顺序排列，得 甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37 乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23 故甲的最大值为 37，最小值为 8，则极差为 29，所以①正确；乙中出现最多的数据 是 21，所以②正确；甲的平均数为－x甲＝110(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋ 37)＝21.4，所以③正确；甲的中位数为12(22＋24)＝23，故④不正确. 答案 ①②③
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升
到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的
看法.
解 (1)平均数是：
－x＝4
000＋7
000＋6
000＋5
规律方法 计算一组数据的众数、中位数和平均数时，一般都要先处理数据，即按
从小到大的顺序排列数据，然后根据众数、中位数、平均数的概念及计算方法求解.
【训练1】 贵阳地铁1号线于2017年12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶
往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，50，60，40，
【例1】 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中 个数如下所示 ：
甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26 乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11 则下面结论中正确的是________(填序号). ①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24.
40，30，30，10，则这组数据的众数、平均数、中位数的和为( )
A.170
B.165
C.160
D.150
解析 把数据从小到大排列为：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，则这 组数据的众数为 60，中位数为12(40＋50)＝45，平均数为110(10＋30＋30＋40＋40＋ 50＋60＋60＋60＋70)＝45，故三者之和为 60＋45＋45＝150. 答案 D
000×2＋4
000＋2 33
500×5＋1
500×3＋0×20≈4
000＋
1 333＝5 333(元).
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(2)平均数是
－ x′＝4
000＋26
000＋16
000＋5
000×2＋4
000＋2 33
500×5＋1
500×3＋0×20≈4
000
＋2 212＝6 212(元)，
5.5 岁，众数为 6 岁.由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映
乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
题型三 利用频率分布直方图求数据的众数、中位数及平均数 注意应用“方程的思想方法”
【例3】 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均 为整数)的频率分布直方图如图所示.
二、素养训练 1.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那
么这组数据的众数为( )
A.5
B.6
C.4
D.5.5
解析 由题意得12(4＋x)＝5，得 x＝6，从而这组数据的众数为 6.
答案 B
2.一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为( )
【迁移2】 (变结论)若例3条件不变，求80分以下的学生人数. 解 分数在[40，80)内的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7， 所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
规律方法 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系 (1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横 坐标. (2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方 图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.
题型二 利用众数、中位数、平均数估计总体
【例2】 据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2) 每 个 小 矩 形 的 面 积 乘 以 其 底 边 中 点 的 横 坐 标 的 和 为
0.004×10×
40＋50 2
＋
0.006×10×
50＋60 2
＋
0.02×10×
60＋70 2
＋
0.03×10×
70＋80 2
＋
0.024×10×
80＋90 2
＋0.016×10×90＋2100＝76.2. 即这50名学生的平均成绩约是76.2分.
(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数.
解 (1)由题干图知众数为70＋2 80＝75，则这 80 名学生的数学成绩的众数为 75 分. (2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为 0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，设为x，得0.1＝0.03×(x－70)， 所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分.
解
(1)
甲
群
市
民
年
龄
的
平
均
数
为
13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17 10
＝
15(岁)，中位数为 15 岁，众数为 15 岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能
较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋ 105＋6＋6＋6＋57＝15(岁)，中位数为