中考数学复习指导：折线最小值问题

折线最小值问题

题目：如图，A 、B 在直线L 的同侧，点B ′是点B 关于L 的对称点，AB ′交L 于点P ．（1）AB ′与AP+BP 相等吗？为什么？（2）在L 上取一点Q ，并连接AQ 和QB ，那么AQ+QB 与AP+PB 哪一个大？为什么？

本题实际上是在直线L 上找一点P ，使点P 到

直线L 的同侧两个定点A 、B 的距离之和最小．这道题是在学习了线段公理和轴对称后的一道很好的习题．我们不妨将此类型问题归纳为“折线求最小值问题”，它涉及到“两点之间线段最短、利用对称化折线为直线的基本方法”。 一、直接应用此结论

1.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．

本题由菱形的轴对称性，知对角线AC 所在直线即为对称轴，所以只要取点M （或点N ）关于AC 的对称点M ′，则M ′N 的长就是PM +PN 的最小值． 二、间接应用此结论

引例：公园里有两条河流OM 、ON 在点O 处汇合，∠MON ＝60°，两河形成的半岛上有一处古迹P ，现计划在两条小河上各建一座小桥Q 和R ，并在半岛上修3段小路分别连接两座小桥Q 、R 和古迹P ，若古迹P 到两条小河的距离都是503米，求这3段小路长度之和的最小值.

本例很明显是折线求最小值问题，但与课本习题不同的是它演变为求3条线段之和的

D A

B C

P M

N

A

B

P

Q

B ′

L

最小值，运用“两点之间，线段最短”公理，仍可采用对称化折线为直线的方法来解决. 2.如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)E(3,1)；F(1,2)；

(2)在R t △EBF 中,∠B=900

，所以EF=5212222=+=+BF EB .

设点P 的坐标为(0,n),其中n ＞0,因为顶点F(1,2), 所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2

+2(a ≠0) ．

① 如图1,当EF=PF 时,EF 2=PF 2,所以12+(n-2)2=5,解得n 1=0(舍去),n 2=4, 所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2． ②如图2,当EP=FP 时,EP 2=FP 2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n =－2

5

(舍去) ． ③当EF=EP 时,EP=5＜3,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2． (3)存在点M 、N,使得四边形MNFE 的周长最小．

如图3,作点E 关于x 轴的对称点E /,作点F 关于y 轴的对称点F /,连接E /F /,分别与x 轴、y 轴交于点M 、N,则点M 、N 就是所求.所以E /

(3,-1)、F /

(-1,2),NF=NF /

,ME=ME /

,

所以BF /

=4,BE /

=3,所以FN+NM+ME=F /

N+NM+ME /

=F /E /

=2243 =5.又因为EF=5,

所以FN+MN+ME+EF=5+5,此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.

本题第（3）问是一个拓展问题，在两条直线上分别找一个点使与两个点相连构成的四边形周长最小问题.四边形的周长虽为4条线段之和，但EF 一边是定长，因而与上例本质相同.

4.某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学。点B 在点M 的北偏西30°的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60

°的处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道铺设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

∵DE＝DM·sin60

°＝

3，ME＝

1

DM

2

＝

1

2

×=

∴PE＝DE，∴P点与E点重合，即AM′过D点。

在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，

则P′M＝P′M′。

∵A P′＋P′M′＞AM′，

∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，

即最小值为AD＋DM＝AM

图①

图②