高斯公式 通量与散度

设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y


由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为


P cos Q cos R cos d S
v n d S
思考与练习
所围立体,
为
判断下列演算是否正确?
x3 y3 z3 (1) 3 d y d z 3 d z d x 3 d x d y r r r

2 2 2 2 3 1 d v 4 R 3 ( x y z ) d v R R
1 R3
根据高斯公式, 流量也可表为
③
如果Σ 是高斯公式(1)中闭区域的边界曲面的外侧， 那末高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区 域Ω 的流体的总质量。由于我们假定流体是不可压 缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开Ω 的同时， Ω 内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的 流体来进行补充。所以高斯公式左端可解释为分布 在Ω 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。 设Ω 的体积为V，式（1）两端同除以V，有 1 P Q R 1 dv vndS V x y z V 上式左端表示Ω 内的源头在单位时间单位体积内 所产生的流体质量的平均值。
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
2.通量与散度
一、高斯公式
定理 1 设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面 Σ 所 围成，函数P(x，y，z) 、Q(x，y， z) 、R(x，y，z) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)

A n d S 为向量场 A 通过
P Q R x y z
记作
div A
称为向量场 A 在点 M 的散度。
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 div A 0 表明该点处有正源,
div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
证明:设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd z1 ( x , y ) z y
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有div A 0 , 则称 A 为无源场。 例如, 匀速场 v (v x , v y , v z ) (其中v x , v y , v z 为常数 ),
div v 0
故它是无源场.
2 2 2 例6 已知向量 A x i y j z k ，Σ 为 圆柱 x 2 y 2 a 2 (0 z h) 的全表面，求A穿过曲 面Σ 而流向其外侧的通量

若为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n
说明流入的流体质量少于 当 > 0 时, 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ; 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的,
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 作取下侧的辅助面 解 2 2 2 ( x , y ) D : x y 1 1 : z 1 xy 1 用极坐标 1 I 用柱坐标

Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h

1 h h
o x

y
2 z z d z h
2
0
h
4
1 4 h 2
例3 计算 x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy （1） : x y 2 z 2 R2 的外侧；
P Q R ( x y z )dv 及易于计算 A dS 1
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz


例4 计算
( x 1)dydz ydzdx dxdy，Σ为平面

x+y+z=1与三坐标面所围成的表面，取外侧。 解
1 1 1 I (1 1 0)dv 2 1 . 3 2 3
比用第二类曲面积分的方法简单得多。
2 2 z 2 x y , 1 z 2 取上侧, 求 设 为曲面 例5
P Q R 0 x y z
2. 通量与散度
设向量场 A ( P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为 P Q R div A x y z
为了揭示场内任意点M处的特性, 设是包含点M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记所围域为, 在③式两边同除以 的体积V, 并令 以 任意方式缩小至点M 则有 lim M V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.

Dx y
2
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
2 1 3

Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y P Q R d xd yd z x y z 应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
13 12
2
o
x
1y

2
0
d
0
1
Dxy
dr

2Leabharlann Baidu 0
cos d
2
二、通量与散度
引例
设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
Dx y Dx y
R d x d y d z R d x d y 所以 z 若不是XY－型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个XY–型区域,在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy

( sin z ) d d d z
2 1 3
o 1 x
y
思考
9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2
利用Gauss 公式计算积分

关于高斯公式的说明 :
（1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的 交点多于两个时，采用分块的方法„ （2）关于Ω的边界曲面的正向： Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时 外层取外侧，内层取内侧。
（3）高斯公式成立的条件： Σ 光滑或分片光滑， P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 （4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封闭， 所围区域Ω。
定义
设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称 有向曲面 的通量(流量)。 在场中点 M(x, y, z) 处
解： A dS x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy

divAdv 2 ( x y z )dV

0 0 2 zdv

h 2 dxdy 0 zdz D xy
a h
2 2
内容小结
1. 高斯公式及其应用
2
其中
（2 ） : x 2 y 2 ( z a )2 R2 的内侧； 解 (1) I ( 2 x 2 y 2 z )dv 0 ,

(2) I ( 2 x 2 y 2 z )dv 0 0 2 zdv
4R 3 8aR3 2 a 3 3
dv
备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 积为V, 是外法线向量与点( x , y , z )的向径 的夹角, 试证
证: 设的单位外法向量为 则
0 0 n r x y z cos 0 cos cos cos 0 r r r n r 1 r cos d S 3 1 3 dv V 3
P Q R 或 ( x y z )dv ( P cos Q cos R cos )dS ,
（1′） 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα 、cosβ 、 cosγ 是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。 公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
z
其中为锥面 x 2 y 2 z 2 介于z = 0及
1 h h
o x
z = h 之间部分的下侧.
解 作辅助面

y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
在 1 上 , 0 2
3
x 3 d y d z y 3 d z d x z 3dx d y
x3 y3 z3 (2) 3 dy d z 3 d z d x 3 d x d y r r r x3 y3 z3 3 3 3 x r y r z r