2.1 几何不变体系和几何可变体系

计算自由度及其计算方法; 结构体系的几何组成分析；
● 本章教学内容的难点：灵活运用三个基本组成规则
分析平面体系的几何组成性质。
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● 本章内容简介:
2.1 几何不变体系和几何可变体系
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 几何组成分析的几个概念 平面体系的计算自由度 平面几何不变体系的基本组成规则 几何可变体系 几何组成分析的方法及示例 静定结构与超静定结构
W = 2j-(b+r) = 2×3-(2+4) = 0
对给定的一个结构，计算结果不因选取计算方式而改变。
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三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系 先求出图示各体系的W。
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a) W=1>0
b) W=0
c) W=-1<0
可看出存在以下三种情况： (1) W>0时，体系缺少必要的约束，具有运动自由度， 为几何可变体系。
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(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入 g 和 h，而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入 r 。
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
m1 m4 m7 h m2 m5 h m6 g m1 m4 m7 (3)h m2 m5 (1)h m6 (3)g
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三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
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a) W=1>0 由此可知：
b) W=0
c) W=-1<0
(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。 (2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不 是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的 布置是否合理。
1根链杆（支杆）相当于1个约束
B
A II
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2、铰的约束作用
(1)单铰（连接两个刚片的铰） 1个单铰相当于2个约束，减少2个自由度。
A I
q
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A II I
q1
q2
III
II
(2)复铰（连接两个刚片以上的铰） 连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
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三、三刚片规则——平面内三个刚片的联结方式
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A II B I
III
C
规律III：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在 一直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系
r为与地基之间加入的支杆数。
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在应用公式时，应注意以下几点： （1）地基是参照物，不计入m中。
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（2）计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内 部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的 刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全部约束数”d 时考虑进去。
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3、刚结的约束作用
(1)单刚结（连接两个刚片的刚结）
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1个单刚结相当于3个约束，减少3个自由度。
I II A B A A 左 A右 E I A II III
C
D
(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
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五、实铰和虚铰
1、实铰
I A I A
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II
II
相交于∞处 (虚铰)
2、虚铰（瞬铰）
O (虚铰)
I A D C B
O (虚铰) ① ②
I C A
①
I C A B
①
②
②
B
D
D
应注意形成 虚铰的两链 杆必须连接 相同的两个 刚片
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二、两刚片规则——平面内两个刚片的联结方式
A
② ③
A II C B I
③
A
II源自文库B C
①
③ ②
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B I
C I
规则II（表述之一）：两刚片用一铰和一链杆相连， 且链杆及其延长线不通过铰，则组成内部几何不变且 无多余约束的体系。 规则II（表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且 三根链杆不全交于一点且也不全平行，则组成内部几 何不变且无多余约束的体系。
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三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
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a) W=1>0
b) W=0
c) W=-1<0
(2) W=0时，体系具有成为几何不变体系所必须的最 少约束数目，但体系不一定是几何不变的。 (3) W<0时，体系有多余约束，但体系也不一定是几 何不变的。
b为链杆数； r为支杆数 注意：在计算j时，凡是链杆的端点，都应当算作结点， 而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入j中； 在计算b和r时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是内 部约束，而支杆则是外部约束，二者不可混淆。
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【例2-3】试求图2-12所示体系的计算自由度。
1 2 3
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2.1 几何不变体系和几何可变体系
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一、几何不变体系和几何可变体系 二、造成几何可变的原因 三、几何组成分析的目的
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一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑
材
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料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
D
FP A A1 弹性变形 EI FP A EI1=∞
B
B
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2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材
料的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
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四、必要约束和多余约束
1、必要约束
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在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
a) 无多余约束
①
b) 有多余约束 B
①A
c) 有多余约束
①
A
②
C
④
B
③
③
②
②
③
2、多余约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不 因此而改变，则此约束称为多余约束。
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FP
A A1
EI1=∞ B 刚体位移 A2
二、造成几何可变的原因 1、内部构造不健全：
如图a所示，由两个铰结三角形组成的桁架，本为几何不变体系,
但若从其内部抽掉一根桁杆CB，如图b所示，则当结点C处作用 FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位移，即变成几何可变体系。
FP C D FP C C1 D D1 LIAOCHENG UNIVERSITY
A
A1
a) 几何不变体系
b) 几何可变体系
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三、几何组成分析的目的 结构必须是几何不变体系才能承担荷载。
几何组成分析的目的:
主要就是要检查并设法保证结构是几何不变体系；
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有助于结构受力分析和选择更加合理的结构形式。
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2.2 几何组成分析的几个概念
A
B
A
B
a) 几何不变体系
b) 几何可变体系
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2、外部支承不恰当：
如图a所示简支梁，本为几何不变体系；
但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示， 则在图示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移， 即变成了几何可变体系。
FP A B FP C C1 B B1
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4
5
解：把杆24和25看作结构内部的链杆，链杆通过固定铰4 和5与大地铰接。在该体系中，4、5两处作为链杆端点应 计入结点数j；同时4、5还都是固定铰支座,一个固定铰支 座相当于2个支杆。因此，该体系的铰结点数j=5，链杆数 b=4，支杆数r=6。故由公式(2-4)，可得
● 本章教学基本要求：
掌握几何不变体系、几何可变体系、刚片、自由度、 约束、必要约束与多余约束、实铰与虚铰的概念；了解平 面体系的计算自由度及其计算方法；掌握平面几何不变体 系的基本组成规则及其运用；了解体系的几何组成与静力 特性之间的关系。
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● 本章教学内容的重点：
平面内一根杆件（一个刚片）
x
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三、约束
减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由 度的装置是1个约束。
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杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座， 称为外部约束； 杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
I
1、链杆（支杆）的约束作用
2.3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W的定义
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1、体系的实际自由度S 令体系的实际自由度为 S，各对象的自由度总和为 a， 必要约束数为 c，则
S＝a – c
2、体系的计算自由度W 将上式中的必要约束数 c 改为全部约束数 d，则
W＝a – d
一、刚片
体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一
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几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
二、自由度
体系运动时可以独立改变的座标的数目，称为该体系的自由度。
y
A
A1
Dy Dx
y
A B Dx
B1
A1
Dq
Dy
o
x
o
的自由度为3
平面内一个点的自由度为2。
I
C
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一、二元体规则
用两根不共线的链杆联结(发展)一个新结点的构造， 称为二元体，于是，规则I也可用二元体的组成表述 为：在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不 变，且无多余约束的体系。
A
①
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A
②
①
A
②
①
②
由二元体的性质可知：在一个体系上加上（或取消） 若干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结 论，常为几何组成分析带来方便。
只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的 计算自由度 W 才等于实际自由度 S。
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二、平面体系的计算自由度
1、刚片体系的计算自由度
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以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系的计 算自由度为
W＝3m - (3g+2h+r)
其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数，
W = 2j-(b+r) = 2×5-(4+6) = 0
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【另解】试求图2-12所示体系的计算自由度。
1 2 3
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4
5
解：把24杆和25杆看成长支杆。在该体系中，链杆端点只 有1、2、3点，支杆端点4、5两处不能再计入结点数。因 此，该体系的铰结点数j=3，链杆数b=2，支杆数r=4。故由 公式(2-4)，可得
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内 部分别有1、2、3个多余约 a) 束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加 了一根链杆或一个铰结或 c) 一个刚结。
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b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点： (3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
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2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
总规则：铰结三角形是几何不变的。
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A
一、 二元体规则（固定一点规则）
—— 一个点与一个刚片的联结方式
B C
规则I：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连， 则组成内部几何不变且无多余约束的体系。
A
②
③
B
h
(1)h m3 (3)h
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m3 h
m8
r
m9 r
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
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【例2-2】试求图2-11所示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
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m=9，g=6，r=9
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
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2、铰接链杆体系的计算自由度
W=2j-(b+r)
其中：
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j 为体系的铰结点数(坐标系内 铰所在位置对应点的个数) ；