幂级数的收敛性

n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
n0

(否则由定理1知将有点x 0使| an xn | 收敛)
n0
收敛半径 R 0.
定理证毕.
例2 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn ;
n1
n

(2) (nx)n;
n1
(3) xn ;
n1 n!
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x 解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n ) un ( x) n 1 1 x 1 x
(1) 当 1 1, 1 x
1 x 1,
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛.
n0
n0
(2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛, 由(1)结论 则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
o

发散区域 R
R 发散区域 x
推论

如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也

证明 (1)
an x0n收敛,

lim
n
an
x0n

0,
n0
M , 使得 an x0n M (n 0,1,2,)
an xn

an x0n

xn x0n

an x0n

x x0
n

M
x x0
n
当 x
1时,

等比级数 M
n
x 收敛,
x0
n0 x0


an xn 收敛, 即级数 an xn收敛;
收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);
定理 1 (Abel 定理)

如果级数 an x n 在x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛;

如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在I R 上的

函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.

例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
2.收敛点与收敛域:

如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1

则称x0 为级数 un ( x)的收敛点, 否则称为发散点.
n1

函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x) ,
规定 (1) 幂级数只在x 0处收敛, R 0, 收敛区间x 0;
(2) 幂级数对一切x 都收敛, R , 收敛区间(,).
问题 如何求幂级数的收敛半径?

定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 当 x 2时,
级数 (1)n 收敛;
n1 n
级数 1 发散;
n1 n
故级数的收敛域为(,2) [0,).
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .

证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
(1) 如果lim an1 ( 0)存在,
二、幂级数及其收敛性

1.定义: 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时, an xn , 其中an 为幂级数系数.
n0
2.收敛性:

例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), 余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
lim
n
Baidu Nhomakorabeasn
(
x)

s(
x)
lim
n
rn
(
x)

0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
a n n
由比值审敛法,
当|
x
|
1 时,


级数 | an xn
n0
| 收敛,

从而级数 an xn绝对收敛.
n0
当 | x | 1 时,


级数 | an xn | 发散,
n0
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0

从而级数 an xn发散.
n0
收敛半径 R 1 ;

(2) 如果 0, x 0,
有 an1 xn1
an xn
0 (n ),

级数 | an xn | 收敛,
n0

从而级数 an xn绝对收敛. 收敛半径 R ;
n0
(3) 如果 ,

x 0, 级数 an xn必发散.
n1
n2
解 (1) lim an1 lim n 1 R 1 n an n n 1