第三章 数理方法 幂级数展开

a0 a1 z z0 a2 z z0 .... ak z z0 ....
2
k
lim a z z0
k K k
k
＜1对收敛。若＞1发散。
★收敛半径为
1 R lim k k a k
★对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。
数学物理方法
例1， 求级数
1+t +t ...+t ....
2
k
a ( z z 0) lim a ( z z 0)
k 1 k k
k 1 k
ak lim ( z z0 ) 1 k a k 1
★则绝对收敛，否则发散。 ★收敛半径为
ak R lim k ak 1
数学物理方法
2、柯西法求收敛半径（根式法）
★对于正项幂级数
k 0
f
(k )
( z0 ) ( z z0 ) k k!
1 1 f ( z) z0 (1 z z0 ) z0
1 (k ) ak f ( z 0 ) k!
ak ( z z 0 ) k
k 0
数学物理方法
★收敛圆半径为 R z0
z z0 1 z0
n
★则，称级数 uk 收敛。
k
m
★这极限S称为这级数的和 ★反之，称为极限不存在。
数学物理方法
（2）实数项级数柯西收敛原理 级数 k 收敛的充分必要条件为 k
n
对于任意给定的正数 ,总存在自然数N使得当n>N时， 对于任意的自然数p都有：
n p
k n 1

k
成立。
数学物理方法
★∵ 是 CR上的点，z是CR内的点，则 y z z0 1
z0

z0
★则有
z z0 z z0 2 1 1 ( ) .... z z0 z z 0 0 (1 ) z0
CR
x
（
z z0 z0
）＜1
z z0 z z0 2 1 1 [1 ( ) ....] z z0 z0 z0 1 z0 z z0 ( z z0 ) ( ) k 1 k 0 z0 k 0 ( z0 )
a lim a
k k 1 k
2
k
的收敛圆，t 为复变数。
解： ak 1
= 1
R = 1
★故级数在 t ＜1的圆内收敛。 ★级数的和为（几何级数）
1 t t
2
1 .... 1 t
( t 1)
数学物理方法
例⒉ 求级数的1 z 2 z 4 z 6 .... 收敛半径。z为复变数
1
( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 )
2
★两边乘以
1 1 2 i z
1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 1 ( ) 2 i z 2 i z 2 i z 2 i z
2
a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 .....
k ( z ) 1 f ( ) 1 k 0 f ( z) d ( z z ) d 0 2 i c R1 z 2 i c R1 z
即级数的和可用连续函数的回路积分来表示，且连续函 数的回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数的 和是一个解析函数。
1
k 1 k
k
1
k
1 R R1
＜ 1
k
★即， a R 收敛 ,则级数 ak ( z z 0)
k k 0 k 1


k 0
绝对切一致收敛！
数学物理方法
2、级数的和在收敛圆内部 是解析函数的（无奇点）
证明： ★由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛，则说明级数
1
在偏小的 cR 上一致收敛，则它可在 c R 上逐项积分。
★和相同

1, 2 ,.i , j.... k
1, 2 ,. j , i.... k
数学物理方法
2、一致收敛及其性质
（1）一致收敛定义：
如果级数是定义在区域B（或境界线L）上，则在区域B （或L）上的各点z，对于给定的小正数 ，存在与 z 无关的 正整数N，使得 n >N 时，对于任意的自然数 p 恒有：
k k
m 收敛,则级数 k 在B上（或L上）是绝对且一致收敛
k 1
§3.2
幂级数
数学物理方法
一、幂级数表示
1、复变函数的幂级数表示

k 0
ak (z z0 )k a0 a1( z z0 ) a2 ( z z0 )2 ....
★其中 a 0 ，a1 ……
z
0
均是Leabharlann Baidu常数。
★两边积分，并应用柯西公式
1 f ( ) f ( z) d 2 i c R1 z
数学物理方法
a0 1 ( ) 1 ( z) d d 2 i c R1 z 2 i c R1 ( z ) a1 ( z0 ) 1 1 d 2 i c R1 z 2 i a2 ( z0 ) cR1 z d .....
数学物理方法
（3）复数项级数的收敛定义 ★ 如果复数项级数 k 的部分和序列Sn 有极限S，即
m k
s1 1
......
这时极限S 称为这级数的和
s2 1 2
s3 1 2 3
s 1 2 3 ......
反之，称为极限不存在。
k
解析的，在L上是一致收敛的，则有： Ⅰ
k 1 n k
( z)
在 B 上一致收敛
Ⅱ 级数和S（z）在 B 上是解析的 Ⅲ
在B上有： (n) dn (n) ( z) ( z ) S ( z) n k 1 k k 1 k
dz
★对于区域B或L上的各点z，级数的各项函数均有界。即 k ( z ) mk 收敛，则由各界值构成新的常数项级数
lim s
n
n
=S
m k
★则称级数 k
收敛。
数学物理方法
（4）复数项级数柯西收敛原理 级数 k 收敛的充分必要条件为 k 对于任意的自然数p都有：
n p
n
对于任意给定的正数 , 总存在自然数N 使得当n＜N时，
k n 1

k
成立。
★说明从n＞N后面项的和为一小数，所以收敛。
v
k
n
k
与
1 1


数学物理方法
2、复数项级数的收敛判据 ——柯西收敛判据
（1）实数项级数的收敛定义
★如果实数项级数 uk 的部分和序列Sn 有极限S，即
k
m
s1 u1 s2 u1 u2 s3 = u1 +u2 +u3 s u1 u2 u3 ...... lim S n S
k k
数学物理方法
★则有
1 f ( z) 2i

( z z0 ) k f ( )d k 1 CR1 k 0 ( z 0 )
k
1 ( z z0 ) 2i k 0
k

C R1
f ( ) d k 1 ( z0 )
k! f ( ) ( z z0 ) d k 1 2ik! CR1 ( z0 ) k 0
★这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。
2、复变函数的正项幂级数
a0 a1 z z0 a2 z z0 .... ak z z 0 ....
2
k
数学物理方法
二、幂级数收敛判别法
1、达朗贝尔判别法求级数收敛半径（比值法）
★对于正项幂级数
a0 a1 z z0 a2 z z0 .... ak z z 0 ....
§3.1 复数项级数
数学物理方法
一、复数项级数定义及其收敛判据
1. 复数项级数定义：

k 1
k
1 2 3 .....
★它的每一项都可分为实部和虚部 ★那么他们的和为 ★这样复数无穷项的收敛的问题
就归结为两个实数项级数
n k

n k k
u
k
i
(k )
★ C R1 为圆 CR 内包含z且与 CR 同心的圆。
数学物理方法
证明：
★ f (z)在 CR 内解析，则应用柯西公式，在 C R1 内有
1 f (z) 2 i
f ( ) c R1 ( z )d
1 ★ 将 z 展为以 z0 为圆心的收敛圆内的幂级数
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 (1 z z0 ) z0
n p ★由 1 2 3 ...
★给定 ，存在N， 和 N 一一对应关系
数学物理方法
二、绝对收敛与一致收敛的 概念及性质
1、绝对收敛及其性质
（1） 绝对收敛定义
由复数级数 的各项模 或写为

k k
、 …. 组成的新级数
1
2
k
收敛，则称这个级数 为绝对收敛级数。
3、一致收敛的性质： ★如果 中的 每一项在区域B上连续，且级数
k k
1
k
k
在区域B上 一致收敛，则级数的和B上也是连续的。
★如果级数中的每一项在境界线L上连续,且级数
2
k
k
在境界线L上一致收敛，则级数的和在L上也是连续的。
数学物理方法
★如果级数是解析函数级数，若 ( z)在闭区域 B 上是
解
令
tz
2
2 4
★级数为
1 1 t t t .... 1 t2
(t
2
1)
★收敛半径为
a R lim a
k
k 1 k
1
★级数的和为 1 z z z ....
2
4
6
1 1 z2
( z 1)
三、幂级数性质
1、级数在收敛圆内绝对且一致收敛
数学物理方法
证明： ★设级数的收敛圆半径为R, 做比收敛圆
稍微缩小的圆周C R1 ；其半径为R1
★因为
k
ak ( z z0 ) k ak R1k
CR
1
★ a k R1由构成的常数项级数
k 1 k k 1 k
a R
k 0 k
1

CR
k 1
a R = lim a R = lim ★则有 a a R
k k

1

1


2



2

（2）绝对收敛性质： ★如果级数 是绝对收敛的，则该级数收敛。
k k
——充分条件
数学物理方法
★如果级数 和 是绝对收敛的，则它们的乘积
k k
k k
也是绝对收敛的。
k k
k k
★改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。
3、推论：级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。
数学物理方法
§3.3 泰勒级数展开
一、解析函数以幂级数展开问题
定理：设f (z)在以z0为圆心圆 CR 内解析， 则对圆内任意在z点， f (z)可以展开幂级数，
CR
CR
1
f ( z ) ak ( z z0 ) k
k 0

★ 其中，
f ( z0 ) 1 f ( ) ak d k 1 2 i c R1 ( z0 ) k!

k n 1
k ( z)

k 1 k
n p
成立。
则称级数
为一致收敛。
数学物理方法
*三、关于收敛的讨论
1、一致收敛是对区域B或L而言。或者说是对复函数而言的。 2、如果复数项级数是B 的解析函数，其级数和一定是B上的 收敛函数。 若 k mk 则该级数是绝对一致收敛的。
即
z z0 R
★解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数！ 说明
（1）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数 是唯一的。 （2）若函数 f (z) 在收敛圆上或外部不解析，则函数与 展开的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。
数学物理方法
二、解析函数展为泰勒级数举例
1、直接展开法：
例1 在 z0 0 的邻域上把 f ( z) e z 展开。 解：f ( z) e z 在复平面上解析，则在z0=0
数学物理方法
(第四版)
物 学 上 理 数 海 系 理 范 学 师 院 大
梁昆淼编
高等教育出版社
主讲：冯 杰
数学物理方法
第一篇 复变函数论
第三章 幂级数展开
§3.1 复数项级数 §3.2 幂 级 数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓
§3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
第三章 幂级数展开