直线与平面所成的角

直线与平面所成的角

基本方法：

垂线法

第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；

第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；

第三步 得出结论.

空间向量法

第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；

第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标； 第三步 再利用sin θ⋅=

a b a b 即可得出结论. 一、典型例题

1. 如图，在四棱锥

P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 平面PAB .2,32,45AB AC PB PBA . 试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得

直线CE 与平面PBC ，若存在，求出AE AP

的值；若不存在，请说明理由.

2. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BB C C 为160CBB 的菱形，1AB AC .

（1）证明：平面1AB C 平面11BB C C .

（2）若1AB B C ，直线AB 与平面11BB C C 所成的角为30，求直线1AB 与平面11A B C 所成角的正弦值.

二、课堂练习

1. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，AB ⊥AD ，AB =1，AD =2，5AC CD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.

2. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为边长为2的正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，22AB EA ED ，

EF ∥BD ，在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD

所成角的正弦值为

？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.

三、课后作业

1. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且112FD

EA ，求直线EB

与平面ECF 所成角的正弦值.

F E

D C

B A F

E D C B A

2. 如图，在四棱锥S ABCD 中，SD 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ，AB CD ∥，且222CD AB AD .若SB 与平面ABCD

所成角的正弦值为，求四棱锥S ABCD 的体积.

3. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60°，PA =AB ，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.

P

D

C

B A