离散数学 关系
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是从A到B的关系, 而 R2＝{(a,2),(c,4),(c,5)}
是从B到A的关系。
A
11
【定义】 设RA×A,
1) 当R＝ 时, 称R为A上的空关系;
2) 当R＝A×A=A2时, 称R为集合A上的全域关系, 用EA表示。显然EA ＝{(x,y)|x∈A 且 y∈A} 3) 若R＝｛(x, x)|x∈A｝, 则称R是A上的恒等关系,
示a和b的小圆圈用直线或弧线连接起来, 并加上从 结点a到结点b方向的箭头。
A
17
例如： A={a1, a2, a3, a4} B={b1, b2, b3, b4, b5} R={(a1, b1), (a2, b3), (a3, b2), (a4, b4), (a4, b5)}
A
• • • • •
18
情形2：R是A上的关系, 其画法如下: 1) 集合A中的每一个元素a用带有元素符号的顶
点(称作顶点a)表示。 2) 若a, b∈A, 且(a,b)∈R, 则将顶点a和顶点b用
一条带有箭头的有向边连接起来, 其方向由顶点a指向 顶点b。
A
19
【例】A={a1, a2, a3, a4, a5}， R={(a1, a1), (a1, a2), (a2, a3), (a3, a4), (a4, a1), (a4, a5), (a5, a3)}。
A
4
2.1 关系的概念 2.1.1 n元关系
定义2-1
设A1, A2 ,… An是集合，则称 A1×A2×…×An的任意一个子集R为A1, A2 ,… An间的n元关系。
集合A1, A2, …, An叫做关系的域, n叫做它的阶。
若R An, 则称R为A上的n元关系。
A
5
可以利用n元关系表示计算机的数据库: 数据库由记录组成，这些记录是由字段构成的n元 组。字段是n元组的数据项。
A
6
例 设R是A×N×S×D×T 的子集，其中A是所有 航空公司的集合，N是航班号的集合，S是出发地的 集合，D是目的地的集合，T是起飞时间的集合。则R 是由5元组(a, n, s, d, t)组成的表示飞机航班的关系。
例如，设R表示由国内航空公司飞机航班构成的关 系，如果南方航空公司在15:00有从广州到北京的 2963航班，那么
【例】 求A＝{1, 2, 3, 4}上的≤关系、 EA和IA 的关系矩阵。
A
14
2.Biblioteka Baidu.3 关系的定义域、值域
定义1.12
设R是一个二元关系， (1) R中所有序偶的第一元素构成的集合称为R 的定义域（ domain），记做dom R。 (2) R中所有序偶的第二元素构成的集合称为R 的值域（range），记做ran R。
例如：A={a, b, c, d}，B={1, 2, 3}， R＝{(a,2), (b,2), (c,1)}，
第2章 关 系
A
1
考察日常生活和科学技术中的“关系”： 人与人之间有：
➢父子关系 ➢兄弟关系 ➢师生关系 两数之间有： ➢大于关系 ➢等于关系 ➢小于关系
A
2
集合之间有： ➢包含关系 ➢相等关系
元素与集合之间有： ➢属于关系
函数之间有： ➢调用关系
……
A
3
关系－－联系:事物间的多值对应。 本章讨论的是： 用集合理论刻画这些“联系”所建立的最一般的 数学模型－－关系，这也是计算机科学中数据描述 和信息处理的最常用的数学模型。
则：
dom R={a, b, c}，ran R={1,2}
A
15
2.1.4 关系表示 1、关系图 2、关系矩阵
A
16
1. 关系图 情形1：R是从A到B的关系, 采用如下的图示: 1）用大圆圈表示集合A和B，里面的小圆圈
（或实心圆）表示集合中的元素; 2）若a∈A，b∈B，且(a,b)∈R，则在图中将表
R A2
若 (a, b)∈R, 则称a与b有关系R, 记为aRb;
若 (a, b)R, 则称a与b没有关系R, 记为aRb。
A
8
直观地看，二元关系就是反映“多值对应”的 二维表，例如， 学生－选课表：
学生
张三 李四 张三 ...
课程 离散数学 微积分 高级语言
...
A
9
把学生选课表用集合来表示： R={ （张三,离散数学）,
求R的关系图。
A
20
2. 关系矩阵 ：由表格法抽象而来
【定义】设集合A＝{x1,x2,…,xm}, B＝{y1,y2,… yn}, R是从A到B的关系, 则m×n矩阵MR＝(mij) m×n叫R的 关系矩阵, 其中:
mij 10,,
if (xi,yj)R if (xi,yj)R
A
21
【例】 设A＝{1,2,3,4,5}, B＝{a,b,c}, 求下面两 个关系的关系矩阵。
用ＩA表示。
A
12
【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的二元关系，其 定义为：当a，b ∈A且a能整除b时，(a, b) ∈R（R 称为A上的整除关系），求R。
A
13
【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的二元关系， 其定义为：当a，b ∈A且a和b被3除后余数相同时， (a, b) ∈R（R也称为A上的模3同余关系, 记为3）， 求R。
( 南方航空，2963，广州，北京，15:00) 属于R。
A
7
2.1.2 二元关系
定义
设有两个集合A和B，其笛卡儿积A×B的任意 一个子集R称为从A到B的一个二元关系 （relation from A to B）。即:
R A×B 特别地，当A＝B时，R称为A上的关系 （relation on A ）, 这时
（李四,微积分）, （张三,高级语言）, …} 序偶的集合R同样也刻画了学生集合A=｛张三， 李四，…｝与课程集合B=｛离散数学，微积分，高 级语言，…｝之间“多值对应”的联系。
A
10
【例】 设A＝｛1, 2, 3, 4, 5｝, B＝｛a, b, c｝, 则 R1＝{(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)}
A到B的关系: R1＝{(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)} B到A的关系: R2＝{(a,2),(c,4),(c,5)}
A
22
设集合A＝{a1, a2, …, an}, 对于A上的关系R, 其关 系矩阵MR＝(mij)n×n是n×n的, 其中:
mij 10,,
ifai,aj R ifai,aj R
是从B到A的关系。
A
11
【定义】 设RA×A,
1) 当R＝ 时, 称R为A上的空关系;
2) 当R＝A×A=A2时, 称R为集合A上的全域关系, 用EA表示。显然EA ＝{(x,y)|x∈A 且 y∈A} 3) 若R＝｛(x, x)|x∈A｝, 则称R是A上的恒等关系,
示a和b的小圆圈用直线或弧线连接起来, 并加上从 结点a到结点b方向的箭头。
A
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例如： A={a1, a2, a3, a4} B={b1, b2, b3, b4, b5} R={(a1, b1), (a2, b3), (a3, b2), (a4, b4), (a4, b5)}
A
• • • • •
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情形2：R是A上的关系, 其画法如下: 1) 集合A中的每一个元素a用带有元素符号的顶
点(称作顶点a)表示。 2) 若a, b∈A, 且(a,b)∈R, 则将顶点a和顶点b用
一条带有箭头的有向边连接起来, 其方向由顶点a指向 顶点b。
A
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【例】A={a1, a2, a3, a4, a5}， R={(a1, a1), (a1, a2), (a2, a3), (a3, a4), (a4, a1), (a4, a5), (a5, a3)}。
A
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2.1 关系的概念 2.1.1 n元关系
定义2-1
设A1, A2 ,… An是集合，则称 A1×A2×…×An的任意一个子集R为A1, A2 ,… An间的n元关系。
集合A1, A2, …, An叫做关系的域, n叫做它的阶。
若R An, 则称R为A上的n元关系。
A
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可以利用n元关系表示计算机的数据库: 数据库由记录组成，这些记录是由字段构成的n元 组。字段是n元组的数据项。
A
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例 设R是A×N×S×D×T 的子集，其中A是所有 航空公司的集合，N是航班号的集合，S是出发地的 集合，D是目的地的集合，T是起飞时间的集合。则R 是由5元组(a, n, s, d, t)组成的表示飞机航班的关系。
例如，设R表示由国内航空公司飞机航班构成的关 系，如果南方航空公司在15:00有从广州到北京的 2963航班，那么
【例】 求A＝{1, 2, 3, 4}上的≤关系、 EA和IA 的关系矩阵。
A
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2.Biblioteka Baidu.3 关系的定义域、值域
定义1.12
设R是一个二元关系， (1) R中所有序偶的第一元素构成的集合称为R 的定义域（ domain），记做dom R。 (2) R中所有序偶的第二元素构成的集合称为R 的值域（range），记做ran R。
例如：A={a, b, c, d}，B={1, 2, 3}， R＝{(a,2), (b,2), (c,1)}，
第2章 关 系
A
1
考察日常生活和科学技术中的“关系”： 人与人之间有：
➢父子关系 ➢兄弟关系 ➢师生关系 两数之间有： ➢大于关系 ➢等于关系 ➢小于关系
A
2
集合之间有： ➢包含关系 ➢相等关系
元素与集合之间有： ➢属于关系
函数之间有： ➢调用关系
……
A
3
关系－－联系:事物间的多值对应。 本章讨论的是： 用集合理论刻画这些“联系”所建立的最一般的 数学模型－－关系，这也是计算机科学中数据描述 和信息处理的最常用的数学模型。
则：
dom R={a, b, c}，ran R={1,2}
A
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2.1.4 关系表示 1、关系图 2、关系矩阵
A
16
1. 关系图 情形1：R是从A到B的关系, 采用如下的图示: 1）用大圆圈表示集合A和B，里面的小圆圈
（或实心圆）表示集合中的元素; 2）若a∈A，b∈B，且(a,b)∈R，则在图中将表
R A2
若 (a, b)∈R, 则称a与b有关系R, 记为aRb;
若 (a, b)R, 则称a与b没有关系R, 记为aRb。
A
8
直观地看，二元关系就是反映“多值对应”的 二维表，例如， 学生－选课表：
学生
张三 李四 张三 ...
课程 离散数学 微积分 高级语言
...
A
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把学生选课表用集合来表示： R={ （张三,离散数学）,
求R的关系图。
A
20
2. 关系矩阵 ：由表格法抽象而来
【定义】设集合A＝{x1,x2,…,xm}, B＝{y1,y2,… yn}, R是从A到B的关系, 则m×n矩阵MR＝(mij) m×n叫R的 关系矩阵, 其中:
mij 10,,
if (xi,yj)R if (xi,yj)R
A
21
【例】 设A＝{1,2,3,4,5}, B＝{a,b,c}, 求下面两 个关系的关系矩阵。
用ＩA表示。
A
12
【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的二元关系，其 定义为：当a，b ∈A且a能整除b时，(a, b) ∈R（R 称为A上的整除关系），求R。
A
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【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的二元关系， 其定义为：当a，b ∈A且a和b被3除后余数相同时， (a, b) ∈R（R也称为A上的模3同余关系, 记为3）， 求R。
( 南方航空，2963，广州，北京，15:00) 属于R。
A
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2.1.2 二元关系
定义
设有两个集合A和B，其笛卡儿积A×B的任意 一个子集R称为从A到B的一个二元关系 （relation from A to B）。即:
R A×B 特别地，当A＝B时，R称为A上的关系 （relation on A ）, 这时
（李四,微积分）, （张三,高级语言）, …} 序偶的集合R同样也刻画了学生集合A=｛张三， 李四，…｝与课程集合B=｛离散数学，微积分，高 级语言，…｝之间“多值对应”的联系。
A
10
【例】 设A＝｛1, 2, 3, 4, 5｝, B＝｛a, b, c｝, 则 R1＝{(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)}
A到B的关系: R1＝{(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)} B到A的关系: R2＝{(a,2),(c,4),(c,5)}
A
22
设集合A＝{a1, a2, …, an}, 对于A上的关系R, 其关 系矩阵MR＝(mij)n×n是n×n的, 其中:
mij 10,,
ifai,aj R ifai,aj R