简单线性规划问题的图解法

∴ t ∈[1 ,5 ]或 t ∈[13 ,17 ].
该船在 1 时至 5 时或 13 时至 17 时能安全进港.
若该船欲当天安全离港 , 它在港内停留的时间
最多不能超过 16 小时.
练习 1 脑电图
下图所示的是人体的大脑在深度睡 眠 时 的 脑
电图, 我 们 若 用 w =
asin ( bt + c) 表示这电波 ,
的坐标 .
练 习 3 科 学 家
图 5 练习 2 图
们常用公式 f ( t) = asin ( bt + c) + d 来模拟一天中
气温的变化 , t 表示时间 , 单位为小时 , t = 0 表示午
夜零点 ,气温 f ( t) 的单位为 ℃. 若某天最高温度为
10 ℃;最低温度为 - 10 ℃,且在凌晨 4 :00 达到 ,求 :
间) ?
(2001 年希望杯试题)
解 由 数 据 表 和 曲 线 知 A = 3 , B = 10 , 周 期
T = 12 ,
∴ 函数式为
y
= 3sin
π 6
t
+ 10.
2) 由题意 ,水深 y ≥4. 5 + 7 ,
由
3sin
π 6
t
+
10
≥11.
5
得
sin
π 6
t
≥1 2
, t ∈[0 ,24 ].
别满足
煤 :9 x + 4 y ≤300 , 电 :4 x + 5 y ≤200 , 劳力 :3 x + 10 y ≤300 , 且 x ≥15 , y ≥15 , 因此 ,问题就归结为在约束条件
9 x + 4 y ≤300 , 4 x + 5 y ≤200 , 3 x + 10 y ≤300 , x ≥15 , y ≥15 下 ,求总产值 (目标函数) s = 7 x + 12 y 的最大值.
8
×2
•
97
%.
注意 :由于图形误差 , 理想截料点定不准时 , 可
将不等式组区域内靠近截料线的几个整数点作比
较 ,到截料线距离最近的点作为最优截料点. 例如本
题中 N (4 ,2) 与 P (1 , 6) 到截料线 A B :2. 5 x + 1. 8 y
- 14 = 0 的距离分别为
d1
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|
2.
2001 年第 22 期 数 学 通 讯
17
简单线性规划问题的图解法
尹建堂
(叶县高中 ,河南 叶县 467200)
在生产实践和商业往来中 ,经常遇到以下两类问 题 : (1) 怎样有效地利用一定的人力 、物力资源去完 成最大的任务 (最值问题) ; (2) 怎样进行合理安排 , 才以最少量的人力 、物力资源去完成一定的任务 (合 理匹配问题) ,这就是所谓线性规划问题. 一般的线性 规划问题 ,要用专门的数学知识来解决. 简单的线性 规划问题 ,可借助二元一次不等式的区域画图来解. 1 最值问题
18
数 学 通 讯 2001 年第 22 期
分析 :为列出问题的数学表达式 ,需先设出欲求 量 :每天生产甲 、乙两种产品分别为 x 吨 , y 吨 ,当然 x , y 均有限制条件 ,根据题意及 x , y 的限制条件就 可得到关于 x , y 的一次不等式组 , 在此约束条件下 求目标函数 s = 7 x + 2 y 的最大值. 注意到平行直线
近截料线 ,余料就越少 ,材料利用率就越高. 当 d = 0
时说明材料全部用完 , 此截法最好) , 不妨把这个整
数点叫做最优截料点 ,从而可得合理下料方法 ;最后
还要计算出材料的利用率.
例 2 有一批 14 米的
条形 钢 材 , 需 要 将 其 截 成
2. 5米 与 1. 8 米 的 两 种 毛
条材下料是线性规划中最简单 , 但确是生产实
践中经常遇到的问题. 这种问题图解法的一般步骤
是 :设出截料点 ( x , y) ,列出关于 x , y 的一次不等式
组 ,并画出该不等式组的区域 ;在该区域内或边界上
找出与截料线距离 d 最小或为零的正整数点 (坐标
网络的交点 , 又称格点. 易知 d 越小即截料点越靠
.
当纵截距
s 12
越大时
,
s
就越大.
由图
1
(
b)
可知
,
当平行直线系过直线 4 x + 5 y = 200 与直线 3 x +
10 y = 300 的交点 B (20 , 24) 时 , smax = 7 ×20 + 12 × 24 = 428 (万元) .
所以每天生产甲种产品 20 吨 , 乙种产品 24 吨 时 ,既能保证完成任务 ,又能获最大产值 428 万元. 2 合理匹配中的条材下料问题
5
×4 + 1. 8 ×2 2. 52 + 1. 82
14|
=
0. 4
,
2. 52 + 1. 82
d2
=
|
2.
5
×1 + 1. 8 ×6 2. 52 + 1. 82
14|
=
0. 7
,
2. 52 + 1. 82
显然 d1 < d2 ,故取 N (4 ,2) 为最优(相对) 截料点. (收稿日期 :2001 - 07 - 23)
画出这个不等式组的区域如图 2. 坐标满足不
等式组的整数点必在区域 △A OB 内及边界线上. 从
图中可以看出整数点 M ( 2 , 5) 正好在截料线 A B :
2. 5 x + 1. 8 y - 14 = 0 上 ,即截成 2. 5 米长的 2 根 ,截
成 1. 8 米长的 5 根 ,正好利用率 100 %. 事实上 ,这是
诸如寻求最高产值 、最大利润 、最大能量 、最低耗 损等 ,这类问题的基本解题步骤是 :设出欲求变量 x , y ;依题意列出关于 x , y 的二元一次不等式组 (或混 合组) , 并画出不等式组的区域 ; 建立目标函数 s =
f ( x , y) (二元一次函数) ;在不等式组区域 (一般为凸 多边形) 的角点 (多边形的顶点) 处找出最佳效益点 M ( x0 , y0) ;将坐标 ( x0 , y0) 代入目标函数求出最值.
合 ,该曲线可近似地看成正弦函数 y = A sinωt + B 的图象 .
1) 试根据数据
表和曲线 ,求出函数 y = A sinωt + B 的 表达式 ;
2) 一 般 情 况
下 ,船舶航行时船底 同海 底 的 距 离 不 少
图 3 例 3 图
于 4. 5 米时是安全的. 如果某船的吃水深度 (船底与 水面的距离) 为 7 米 ,那么该船在什么时间段能够安 全进港 ? 若该船欲当天安全离港 , 它在港内停留的 时间最多不能超过多长时间 ( 忽略 离 港 所 需 的 时
坯 ,问怎样下料最合理.
解 设每根钢材能截
成 2. 5 米与 1. 8 米的两种
毛坯分别为 x 根 、y 根 , 依
题意 ,得 2. 5 x + 1. 8 y ≤14.
图 2 例 1 图
又 x , y 必为非负数 ,
∴ 需求不等式组
2. 5 x + 1. 8 y ≤14 ,
x ≥0 ,
y ≥0
的整数解.
例 1 某工厂生产甲 、乙两种产品 ,按供需要求 , 计划每天生产各种产品不能少于 15 吨. 已知生产甲 种产品 1 吨 ,需用煤 9 吨 ,电力 4 千瓦 ,劳动力 3 个 ; 生产乙种产品 1 吨需用煤 4 吨 ,电力 5 千瓦 ,劳动力 10 个. 又知甲种产品每吨价值 7 万元 ,乙种产品每吨 价值 12 万元. 但生产中每天用煤量不得超过 300 吨 , 电力不得超过 200 千瓦 ,劳动力只有 300 个. 问每天 甲 、乙两种产品各生产多少吨 ,才能既保证完成生产 任务 ,又能创造最大产值 ,并求出这个最大产值.
那么 b 的值是多少 ?
练 习 2 如 图 5 所
示是曲柄连杆机构 , 活塞
杆长 6 英寸 , 曲柄的半径 为 2 英寸.
图 4 练习 1 图
1) 若曲柄沿逆时
针方向每秒转动 2 周 ,
时间 t = 0 秒时点 A 的
坐标 为 ( 2 , 0) , 试 求 t
秒时点 A 的坐标 ;
2) 求 t 秒 时 点 B
系 s = 7 x + 12 y 即 y =
-
7 12
x
+
s 的纵截距 s 最大
12
12
时 , s 最大. 再观察直线系经过不等式组的区域多边
形的哪个顶
点
时
,
使
s 12
获
最
大
值
,
从
而
便
可
求
出
s
的最大值.
解 设每天生产甲种产品 x 吨 , 乙 种 产 品 y
吨 ,则由已知条件得煤 、电 、劳力及产品的限制应分
理论值. 由于截料时有不可避免的损耗 (如截口要耗
去一定长度的钢材) ,就不可能用整点 (2 , 5) 来截 ,而
是找比较靠近截料线的区域内的整点 N ( 4 , 2) 作为
实用截料点 , 即截成2. 5米长的 4 根 , 截成 1. 8 米长
的 2 根. 这时钢材的利用率为
2.
5
×4 + 1. 14
( a) ( b) 图 1 例 1 图
上面不等式组的区域是五条直线围成的五边形
A B CD E(如图 1 ( a) 中的阴影部分) . 最大值点 ( x0 , y0) 应在该区域的内部或边界上来找.
作平 行 直 线 系
s =7x
+ 12 y , 即
y=
-
7 12
x
+
s 12
1) 函数 f ( t) 的表达式 ;
2) 画出函数 f ( t) , t ∈[0 ,24 ]的图象.
参考文献
[ 1 ] Swokowskl ,cole. Algebra and Trlgonometry wit h Analy tic. Geometry. 8t h. edition. Brooks/ cole publishing company ,1996. (收稿日期 :2001 - 06 - 18)