泛函分析总结

泛函分析总结

泛函分析知识点小结及应用

第七章度量空间

§ 1度量空间的进一步例子 一 度量空间的定义

设X 是任一非空集合，若对于-x,y. X ，都有唯一确定的实数

d x,y 与之对应，且满足

1. 非负性：d x, y _0, d x, y =0= x = y;

2. 对称性：d （x,y ）=d （y,x ）;

3. 三角不等式：对-x, y,z •工，都有d x, y

（乂，d ）为度量空间，工中的元素称为点。

欧氏空间R n

对R n

中任意两点x= ex ?，…，X n 和y= y i ,y 2,…，y n ，规定距离为

1

d （x, y ）=£ % — y i 2

k i =1

丿

C a,bi 空间 ca,b ］表示闭区间a,bi 上实值（或复值）连续函数的

设 x = % a ，y =M 二 j ，定义

二 度量空间的进一步例子 例1序列空间S

全体.对c a,b 1中任意两点 x<(t )- y(t ). r m

oO

'

l p （1乞p <+立）空间记l p h

X = °k

匕

z Xk

p

< 0 >

k=1

J

x,y ，定义d （x, y ）=鹦

耳

d(x,y)=送X i —%

2

i

d f,g = X

-rdt. f

y -g t

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对-X 二:匚,y 二；、y 匸,

风- y k

1 X k - y k

例2有界函数空间B A

设A 是一个给定的集合，令BA 表示A 上有界实值（或复值）函数的全 体.-x, y B A ，定义 d x, y =supx t - y t .

teA

例3可测函数空间M X

设MX 为X 上实值（或复值）的可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若m X ：：：：:,对任意两个可测函数ft 及g t ，由于 f ft ）- g （t j

诃 W 1，故不等式左边为X

上可积函数■令 § 2度量空间中的极限

设"x n

二是X, d 中点列，若-x ■ X ，s.t.

lim d x n

, x = 0

n »

则称\n 和是收敛点列，x 是点列*鳥的极限.

收敛点列的极限是唯一的.若设X n 既牧敛于x 又收敛y ，则因为

0 -d x,y -d x,x n ' d y, x n > 0 n 「：，而有 d x, y =0.所以 x =y .

注（）式换一个表达方式：lim d x n, x =d lim x n, x .即当点列

0苇样n yfj

极限存在时，距离运算与极限运算可以换序.更一般地有

距离d x, y是x和y的连续函数.

证明 d x, y _ d x, x o +d x°,y o +d y°,y =

d x, y - d x o, y o

d x o, y o - d x°,x +d x,y +d y ,y°-■ d x°,y o - d x, y

_ d x,x o +d y o, y .所以 | d x, y - d x°, y° | — d x, x° +d y°, y

具体空间中点列收敛的具体意义:

1. 欧氏空间 R n X m=x「，X2m，…，X n m,m=1,2,…，为R n中的点列，X=X i,X2, ,X n - R n，

d X m, x = ：j X! - X! x2 _ X2 X n - X n . X m “ X

（m t临）二对每个1兰i兰n，有xj m匚X j （m t比）.

2. C a,b 1 设乂魚C a,b 1，x C a,b 】，贝U

d X n, X =maXX n t -Xt >0 n•'：：= 火‘心在1 一致收敛于

X .

3. 序列空间 S 设X m= /,「「，「，…，m=1,2,，及X= !「2,…「n，… 分别是S中的点列及点，贝U

-1|缎)7|

d(X m,^^ ——T O (m Td)u X m 依坐标收敛于X.

“2 1平•

因 d f n,

f n (t )一f (t )

I I

V f n t -f t

4. 可测函数空间M X设C f n MX , f MX，则

§ 3度量空间中的稠密集可分空间

定义设X是度量空间，N和M是X的两个子集，令M表示M的闭包，若N M，则称集M在集N中稠密，当N = X时，称M为X的一个稠密子集•若X 有一个可数的稠密子集，则称 X是可分空间.

例1 n维欧氏空间R n是可分空间.事实上，坐标为有理数的点的全体是R n的可数稠密子集.

例2 离散距离空间X可分二 X是可数集.

例3 I：:是不可分空间.

§ 4连续映照

定义设X= X,d，Y= Y,d是两个度量空间，T是X到Y中的

T 〜

映射：X = X,d >Y= Y,d . X。X，若 - ；0，: 0，s.t. - x • X 且d x,x。：：：：，都有〜Tx,Tx0：：：；，则称T 在X。连续：定理1 设T是度量空间X,d到度量空间Y,〜中的映射：

T

X,d：r Y,d，则T 在x o 连续= 当x n >x o 时，必有TX n >Tx o.

定理2 度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映射= 任意开集M Y，T’M是X中的开集.

= dm，有