二面角及其平面角

1、二面角的定义： 2、二面角的表示方法： 3、二面角的平面角：
4、二面角的平面角的作法：
二面角P l பைடு நூலகம்Q 二面角P AB Q
平面角、二面角的对比
角 A
图形 顶点 O 边 棱
二面角 A
l


面
边 B
B
面
定义
从一点出发的两条射线 从一条直线出发的两个半 所组成的图形叫做角。 平面所组成的图形叫做二 面角。
射线—点—射线
构成
（顶点）
表示法 ∠AOB
半平面—直线—半平面
（棱） 二面角—l—
§二面角
引入：
空间两个平面有平行、相交两种位置关系， 对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对 于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认 识.
实例：
修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用， 必须使水坝面与水平面成适当的角度， 如何从数学的观点认识这种现象？
概念：半平面
平面内的一条直线，把这个平面分成 两部分，每一部分都叫做半平面。
或二面角—AB—
问题1：你能在教室内找到二面角的例子吗？
实例:把门打开，门和墙构成二面角；
把书打开，相邻两页书也构成二面角.
问题2：随着打开的程度不同，可得到不同的二面角， 如何度量二面角的大小？能否转化为平面角来处理？


二面角的平面角 1、二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角
A
A O⊥ l ，B O⊥ l
O
l B
二面角的平面角的三个特征: 1.点在棱上
2.边在面内 3.边与棱垂直
问:二面角平面角的大小 与平面角的顶点的位置 是否有关系？
O 。 O1 。
B
A
A1
B1
β
α
等角定理 若一个角的两边与另一个角的 答：二面角的平面角与其顶点的位置无任 两边分别平行且方向相同，则这两个角相 何关系 等。 ,只与二面角的张角大小有关。
直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分都叫做射线.
射线 射线
思考1:平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一 部分叫什么名称？
半平面
半平面
思考2:在平面几何中“角”是怎样定义的？ 答：从平面内一点出发的两条射线所组成的 图形叫做角。
将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．
将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为什么？
二面角的大小:
二面角的大小可以用它的平面角 来度量,二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度.
二面角的大小的范围:
0 180
互相垂直的平面:
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
α A
β O B
例题示范
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值. C1 B1 C B
你能画一个图形的直观图吗？
二面角的概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。 B

Q
l
B
P

O
A
A
平面角由射线--点--射线构成。
二面角由半平面--线--半平面构成。
二面角的表示
二面角 l 二面角 AB
O
D1
A1
D A
课堂练习 1、如图，将等腰直角三角形纸片沿 斜线BC上的高AD折成直二面角. 求∠BAC的大小
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC 为直角 , 就是这个直二面角的平面角 . 所 以 BDCD . B 若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得: AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形, 0 所以 BAC 60 .
A
D
C
课堂小结 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 1、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 的大小与 其顶点 做二面角的面。 在棱上的位置无关 二 面 角 －AB－ 二 面 角 C－AB－ D 2、二面角的大小用 二 面 角 － l－ 它的平面角的大 小来度量 根据定义作出来