函数的单调性(公开课课件)

1.3.1 函数的单调性
教师：罗华荣
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
测试时间 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆保留 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 量y (百分比)
讨论：根据函数单调性的定义
1 能不能说y ( x 0)在定义域( ,0) (0, )上 x 是单调减函数?
y
f ( x1 )
f ( x2 )
O
f ( x) 1 x
x
x1 x 2
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2)
y
取自变量－1< 1，
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数. 说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可. 2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
• 练一练 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调 区间上，函数是增函数还是减函数.
4 3 2 1 -1 y
y
1
2
3
t
函数的单调性
思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当
(1) f ( x) x 1 (2) f ( x) x
y
自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的？ 2 y
4
1
o
x
x
1 2
-2 -1
O
上升 1.从左至右图象———— 2.在区间 (-∞, +∞)上， 随着x的增大，f(x)的值 增大 随着 ————
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数； y
y x2
（ 2 ） x 1, x
2
取值的任意性
y
f(2) f(1)
o
x
判断2：定义在R上的函数
f (x)满足 f (2)> f(1)，则
函数 f (x)在R上是增函数；
-1
1
O
1 f ( x) x
-1 1
而 f(－1) < f(1)
x
1 ∴不能说 y 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 x 要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。
逗号 隔开
巩固
y
f (x2) 图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大 对区间D内
f (x1)
2
2
1
任意
x1，x2 ，
O
1 2x
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减 y 函数？ 3
2
y f ( x)
-3 -2 -1 -5 -4 -1 -2
1
O
1
2 3 4 5
x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
x
方案1：在区间（0,＋ ∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升
方案二：
函数f ( x)在区间(a, b)上有无数个自变量x， 使得当a x1 x2 b时，有f (a) f ( x1 ) f ( x2 ) f (b), 由此能否说明该函数f ( x)在(a, b)上的图象一直保持上升趋势？ 请你说明理由（举例或者画图）
y f ( x)
O
2
4
5 x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5] 其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数； 在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.
例2
证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
例2
证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．ຫໍສະໝຸດ Baidu
下结论
用定义证明函数单调性的四步骤：
在所给区间上任意设两个实 数 x1 , x2且x1 x2 . 作差 f ( x1 ) f ( x2 )
（1）设值: （2）作差
（3）变形 ：常通过“因式分解”、“通分”、“配方”
手段将差式变形为因式乘积或平方和形式
（4）结论: 判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号并作出单调性的结论
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x1,x2，
f ( x2 )
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f (x1)
2
2
1
对区间D内 任意
x1，x2 ，
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
0
1 2
x1
定 义
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 那么就说 f (x)在区间D上 是单调增函数，D称为 f (x)的单调 增区间.
O
1 2
x
函数的这种性质称为函数的单调性
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升； 当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。
思考3：如何用数学符号语言定义函 数所具有的这种性质？
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
2
2
1
0
1 2
以上数据表明，记忆保留量y是 时间t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
思考1:观察“艾宾浩斯遗
忘曲线”，你能发现什么 100 规律？ 80 思考2:我们发现随着时间t 60 的增加，记忆保留量y在不 40 20 断减少；从图象上来看， o 从左至右图象是在逐渐下降 的。
1.(-∞,0]上从左至右图象 下降 当x增大时f(x)随着减小 2.(0,+∞)上从左至右图象上升， 当x增大时f(x)随着增大
(1) f ( x) x 1
y
(2) f ( x) x
y
4
2
1 o
x
-2 -1
思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y） 的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？
f(x1)<f(x2)
当x1<x2时，都有
0
1 2
x1x2
x
方案1：在区间（0,＋ ∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升 方案2:(0,+∞ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。 方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2 且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)
课堂小结
1. 两个定义：增函数、减函数的定义； 2：两种方法 ①图象法判断函数的单调性： 增函数的图象从左到右 上升 下降 下结论
减函数的图象从左到右
②(定义法)证明函数单调性，步骤: 设量 作差变形 判断差符号 3.一个数学思想：数形结合
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，D称为f(x)的单调增 区间. 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间 如果函数 y =f(x)在区间D 是单调增函数或单调减函 数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
y
f (x2) 图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大 对区间D内
f (x1)
任意
x1，x2 ，
f(x1)<f(x2)
当x1<x2时，都有
0
x1x2
x
方案1：在区间（0,＋ ∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升 方案2:(0,+∞ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。 方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2 且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)
k 例2、物理学中的玻意耳定律 p V (k为正常数 ) 告诉
证明:
1 2
1.设值;
2.作差变形; 3.定号; 3 4.下结论
4
拓展探究
y
1 画出函数 y 图象，写出定义域并写出单调区间： x
x
y 1 x
1 函数 y 定义域为 (,0) (0,) x ？ 1 (, 0) , (0, ) y 的单调减区间是 _____________ x
设值 作差 变形 定号 则 由 于是 即 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2) = 3（x1-x2） x1﹤x2 ，得 x1 - x2﹤0 f(x1) - f(x2) ﹤0 f(x1) ﹤ f(x2)
证明：设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1﹤x2
所以
f(x)=3x+2在R上是增函数