同济大学概率论与数理统计第三章
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且有同样的性质。注意在同一个条件下使用。
比如：
1 . P AB 1P AB
2 . P A B C P A C P A B C
例2．5个乒乓球，3个新的，2个旧的。每 次取一个，无放回地取两次. 。记 A={第一次取到新球}，B={第二次取到新球} 求：P（A），P（AB），
P（B│A）. 解：p(A)=3/5,
例 7．求桥式系统可靠度（见下图,p27 例 1.27）。每个元件的可靠度都是 p, 每 个元件是否正常工作是相互独立的.
1
2
3
4
设Ｂ＝｛桥式系统正常工作｝，Ａ＝｛元 件５正常工作｝．
当Ａ发生时桥式系统如左图：
定义 设Ａ１，Ａ２，…Ａn满足下面的 条件：
（１）Ａ１，Ａ２，…Ａn两两互不相容； （２）Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａn=Ω 则称Ａ１，Ａ２，…Ａn构成样本空间Ω的一 个划分（或称构成一个完备事件组）．
全概公式：如果随机事件 A1, A2,L , An 构成 完备事件组，且都具有正概率，则对任一 事件 B 皆有
例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其 中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个 红色7个兰色。现从中任取一球，记
A={取到玻璃球}，B={取到兰色球}
则
P（A）=6/16，P（B）=11/16。
AB={取到兰色玻璃球}，
P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色 球，那么它是玻璃球的概率”是 多少？
P A 0.3， PB 0.4 P AB 0.2
PB
A
P AB P A
PB A
PA
P B P AB
PA
2 3
PB
AUB
P B A U B
PAUB
P
P BA U BB A PB P
AB
P BA
0.8
1 4
由条件概率的定义立即得到概率的乘法公式： 当P（A）＞0 或P（B）＞0 时，
例4． 某厂生产的产品不合格率为 0.1%， 但是没有适当的仪器进行检验。有人声称 发明了一种仪器可以用来检验，误判的概 率仅 5%，试问厂长能否采用他发明的仪器？
例 5．甲乙丙三人向同一架飞机射击，他们击中 的概率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人 射中，飞机坠毁的概率为 0.2；若有两人射 中，飞机坠毁的概率为 0.6；若三人全射中， 飞机必然坠毁。求飞机坠毁的概率；若飞机 坠毁,求在坠毁前只命中一弹的概率。
率为
Pn k Cnk pk 1 p nk ， k 0,1,L , n .
由于
n
Pn
k
p
1
pn
1，因此称
Pn
k
k 0
为二项概率。
例1． 一部机器在一天内发生故障的概率 为 0.2，若一周五个工作日里每天是否发生 故障是相互独立的，试求一周内发生了 3 次
故障的概率。（ P5 3 C530.230.82 0.0512）
解：记 Ai 第 i 门炮射中敌机 ， i 1, 2,L , n
E 敌机被击中，则
P E P A1 U A 2UL U An 1 P A 1U A U2 L U An
1 P A1A 2L An 1 P A 1 P A 2L P An 1 0 n. 4
由题意 1-(0.4)n ≧0.99
例６．一项血液化验以概率0.95将带菌病人 检出阳性，但也有1%的概率误将健康人检出 阳性．假设已知该种疾病的发病率为0.5%， 求已知一个个体在检出是阳性的条件下，该个 体确实患有此病的概率．（0.324）
设B={被检出阳性}，A1={带菌者}, A2={不带菌者}, 且已知p(A1)=0.005,p(B| A1 )=0.95,
定理：若下列四对事件 A与B； A与B；A与B；A与B 中有一对相互独立，则另外三对也独立。
例1中我们也可以这样来求：
PAUB1PAUB1PAB
1PAPB10.40.50.8
定义：称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A PB ， PBC PB PC， P AC P A PC ， P ABC P A PB PC
所求概率为
p(Ā|B)= 1-p(A|B)=1-p(AB)/p(B) =1-p(A)/p(B)=1-0.6/0.8 =1/4 注意此处p(AB)=p(A)
例 4：设 A 、 B 为两个随机事件，且
P A 0.3， PB 0.4， P A B 0.5
试求 PB A 与 PB A B
解：由 P A B P A P AB 知 P AB 0.2
n
P B P Ai P B Ai i 1
例 2．设一个仓库中有十箱同样规格的产品。 已知其中有五箱、三箱、两箱依次是甲厂、乙 厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产的该 种产品次品率依次为 1/10，1/15，1/20。现从 这十箱产品中任取一箱，再从中任取一件产品。 求取得正品的概率？
例 3．有朋自远方来，他乘坐火车、轮船、 汽车、飞机的概率分别为 0.3、0.2、0.1、 0.4。若坐火车，则他迟到的概率为 0.25， 其余分别为 0.3，0.1 和 0。问此人最后可 能迟到的概率是多少？
在例２中又问：若取到的是正品，那么它是 由甲厂生产的概率是多少？
在例3中又问：若这个人迟到了，那么他是 坐轮船来的概率有多大？
一个，无放回地取两次，求第二次取 到新球的概率？
解：记 A={第一次取到新球}， B={第二次取到新球}
则 P
B
3 5
2 4
2 5
3 4
3 5
P A PB A PAPB A
P AB P AB P AB U AB
PB
特点： 对 B 的发生有影响的事物有多种可能性，要 将它们都综合在一起考虑，综合的思想是一 个加权平均。公式具有普遍性。
而成，第 i 个元件的可靠度为 pi ，则该系 统的可靠度为 p1 p2 L pn 。
（2）并联系统：设一个系统由 n 个元件并联 而成，第 i 个元件的可靠度为 pi ，则该系
n
统的可靠度为1 1 pi 。 i 1
例1． 求下列混联系统的可靠度，其中每个元 件的可靠度都是 p 。
1 3
2
4
在 n 重贝努利试验中，我们主要研究事件 A 发生的次数及事件 A 恰好发生 k 次的概率。
问题的一般提法： 设单次试验中，事件 A 发生的概率为 p ，
将此试验重复独立地进行 n 次，问事件 A 发
生 k 次的概率（记为 Pn k ， k =1,2,…, n ）是多
少？
定理：n 重贝努利试验中 A 发生 k 次的概
解: P(A)=4/10=2/5, P(AB)=p(A)p(B|A)=4/10 ×3/9=2/15,
P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB) =2/15×2/8=1/30.
二．事件的相百度文库独立性
定义 1.3 称两个随机事件 A、B 是相 互独立的，如果
P(AB)=P(A)P(B)
思考： 相互独立与互不相容有何区别？
为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条 件概率。
1. PABCPPAC BC
2. PABUCPPA B B U U C C
条件概率也是概率，满足概率的公理化 定义中的三条公理，即
公理1. P（A│B）≥0； 公理2. P（Ω│B）=1； 公理3. P（∪Ai│B）=∑P（Ai│B）
p(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10,
p(B|A)=p(AB)/p(A)=1/2
例3(课本第18页例1.14) 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年 的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建 筑物经历了50年之后，它将在10年内 倒塌 的概率有多大？
解：B：该建筑物的寿命在５０年以上， A：该建筑物的寿命在６０年以上．
系统可靠度为
P 2P2 3P3 P4
四. 贝努利概型与二项概率
如果在一个试验中我们只关心某个事件 A 发生与否，那么称这个试验为贝努利试验。
此时试验的结果可以看成只有两种：A 发 生或 A 不发生。
相应的数学模型称为贝努利概型。
如果把贝努利试验重复独立地做 n 次，则 称这 n 次试验为 n 重贝努利试验。
4
4
可见 P AB P A PB
例 1：甲、乙两人同时向一敌机炮击， 二人击中敌机的概率分别为 0.6 和 0.5，求敌 机被击中的概率。 解:
设 A={甲击中目标} ，B={乙击中目标} ， A、B 相互独立，所求概率为
P A U B P A P B P AB
0.6 0.5 0.6 0.5 0.8
上述概率可以记为P（A│B） P（A│B）=4/11
事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为{11个兰色球}，n=11
进一步我们发现，
P（A│B）=P（AB）/P（B）
定义 ：给定一个随机试验，Ω是它的样本空 间，对于任意两个事件A、B，其中 P（B）＞0，称
P（A│B）=P（AB）/P（B）
解出n ≧5.027,即至少需要6门炮才能以 99%的把握命中敌机。
三 独立性在可靠性问题中的应用
一个产品或一个元件、一个系统的可靠 性可以用可靠度来刻划，所谓可靠度指的是 产品能正常工作的概率。
以下讨论中，假定一个系统中的各个元 件能否正常工作都是相互独立的。
两个基本模型： （1）串联系统：设一个系统由 n 个元件串联
例2． 设每次射击命中目标的概率等于 0.001， 如果射击 5000 次，试求至少两次命中 目标的概率。
P 5 0 0 0 k 2 1 P 5 0 0 0 0 P 5 0 0 0 1 0 . 9 5 9 6
§3.2 全概公式与逆概公式
一 ．全概公式
例 1． 5 个乒乓球，3 新 2 旧。每次取
四个等式都成立。
定义可以推广到n个事件上去
特别地，当 A1, A2,L , An 相互独立时，
有 P A1A2 L An P A1 P A2 L P An
上述定理也可以推广。
例 2：设某型号的高射炮，每一门炮发 射一发炮弹击中敌机的概率为 0.6，现若干 门炮同时发射（每门一发）问至少需配置 几门高射炮，才能以 99%的把握命中敌机？
上式即等价于
PB A PB，（当P A 0）
它的直观意义是一个事件的发生不影响另一 个事件发生的概率。上式也等价于
P A B P A，（当 p(B)>0）
.
独立性往往蕴涵在事物的内部。
一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张， A={抽到K}，B={抽到红桃}，可以验证事件A,B 是相互独立的.
二． 逆概公式（贝叶斯公式）
如果随机事件 A1, A2 ,L , An 构成完备事件组，
且都具有正概率，则对任一事件 B （ PB 0 ），
有
P
Aj B
P
n
Aj
P
B Aj
， j 1, 2,L , n
P Ai P B Ai
i 1
例
2
中，
P A1
B
45 92
例 3 中， P A2 B 0.4138
P A 4 ， P B 13 ， P AB 1
52
52
52
可见 P AB P A PB
抛一枚均匀硬币2次，A={第一次正面向上} ， B={第二次正面向上},可以验证事件A,B是相互独 立的.
样本空间为{正正，正反，反正，反反}
P A 2 ， P B 2 ， P AB 1
4
第三章
§3.1条件概率与独立性
一 条件概率 二 随机事件的独立性 三 独立性在可靠性问题中的应用 四 贝努利概型与二项概率
一 条件概率
问题的提法： （1）给定一个随机试验，Ω是它的样本空
间，问“事件A发生的概率”？ （2）在上述前提下，问“已知某事件B已经 发生了，那么事件A发生的概率是多少”？
p(B| A2)=0.01
PB P A1 P A1 B P A2 P A2 B
0.005 0.95 0.9950.01 0.0147
P A 1B P A 1 P P B B A 1 0 .0 0 0 .0 5 1 4 0 7 .9 5 0 .3 2 4
解题关键： 寻找完备事件组。
P（AB）=P（A）P（B│A） 或
P（AB）=P（B）P（A│B）
乘法公式可推广到多个随机事件上去 ， P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB)
例5，10个考题中，4难6易。三人参加抽题 （不放回），甲先、乙次、丙最后。记事件A、B、
C分别表示三人各抽到难题。试求： P（A），P（AB），P（ABC）.
比如：
1 . P AB 1P AB
2 . P A B C P A C P A B C
例2．5个乒乓球，3个新的，2个旧的。每 次取一个，无放回地取两次. 。记 A={第一次取到新球}，B={第二次取到新球} 求：P（A），P（AB），
P（B│A）. 解：p(A)=3/5,
例 7．求桥式系统可靠度（见下图,p27 例 1.27）。每个元件的可靠度都是 p, 每 个元件是否正常工作是相互独立的.
1
2
3
4
设Ｂ＝｛桥式系统正常工作｝，Ａ＝｛元 件５正常工作｝．
当Ａ发生时桥式系统如左图：
定义 设Ａ１，Ａ２，…Ａn满足下面的 条件：
（１）Ａ１，Ａ２，…Ａn两两互不相容； （２）Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａn=Ω 则称Ａ１，Ａ２，…Ａn构成样本空间Ω的一 个划分（或称构成一个完备事件组）．
全概公式：如果随机事件 A1, A2,L , An 构成 完备事件组，且都具有正概率，则对任一 事件 B 皆有
例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其 中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个 红色7个兰色。现从中任取一球，记
A={取到玻璃球}，B={取到兰色球}
则
P（A）=6/16，P（B）=11/16。
AB={取到兰色玻璃球}，
P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色 球，那么它是玻璃球的概率”是 多少？
P A 0.3， PB 0.4 P AB 0.2
PB
A
P AB P A
PB A
PA
P B P AB
PA
2 3
PB
AUB
P B A U B
PAUB
P
P BA U BB A PB P
AB
P BA
0.8
1 4
由条件概率的定义立即得到概率的乘法公式： 当P（A）＞0 或P（B）＞0 时，
例4． 某厂生产的产品不合格率为 0.1%， 但是没有适当的仪器进行检验。有人声称 发明了一种仪器可以用来检验，误判的概 率仅 5%，试问厂长能否采用他发明的仪器？
例 5．甲乙丙三人向同一架飞机射击，他们击中 的概率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人 射中，飞机坠毁的概率为 0.2；若有两人射 中，飞机坠毁的概率为 0.6；若三人全射中， 飞机必然坠毁。求飞机坠毁的概率；若飞机 坠毁,求在坠毁前只命中一弹的概率。
率为
Pn k Cnk pk 1 p nk ， k 0,1,L , n .
由于
n
Pn
k
p
1
pn
1，因此称
Pn
k
k 0
为二项概率。
例1． 一部机器在一天内发生故障的概率 为 0.2，若一周五个工作日里每天是否发生 故障是相互独立的，试求一周内发生了 3 次
故障的概率。（ P5 3 C530.230.82 0.0512）
解：记 Ai 第 i 门炮射中敌机 ， i 1, 2,L , n
E 敌机被击中，则
P E P A1 U A 2UL U An 1 P A 1U A U2 L U An
1 P A1A 2L An 1 P A 1 P A 2L P An 1 0 n. 4
由题意 1-(0.4)n ≧0.99
例６．一项血液化验以概率0.95将带菌病人 检出阳性，但也有1%的概率误将健康人检出 阳性．假设已知该种疾病的发病率为0.5%， 求已知一个个体在检出是阳性的条件下，该个 体确实患有此病的概率．（0.324）
设B={被检出阳性}，A1={带菌者}, A2={不带菌者}, 且已知p(A1)=0.005,p(B| A1 )=0.95,
定理：若下列四对事件 A与B； A与B；A与B；A与B 中有一对相互独立，则另外三对也独立。
例1中我们也可以这样来求：
PAUB1PAUB1PAB
1PAPB10.40.50.8
定义：称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A PB ， PBC PB PC， P AC P A PC ， P ABC P A PB PC
所求概率为
p(Ā|B)= 1-p(A|B)=1-p(AB)/p(B) =1-p(A)/p(B)=1-0.6/0.8 =1/4 注意此处p(AB)=p(A)
例 4：设 A 、 B 为两个随机事件，且
P A 0.3， PB 0.4， P A B 0.5
试求 PB A 与 PB A B
解：由 P A B P A P AB 知 P AB 0.2
n
P B P Ai P B Ai i 1
例 2．设一个仓库中有十箱同样规格的产品。 已知其中有五箱、三箱、两箱依次是甲厂、乙 厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产的该 种产品次品率依次为 1/10，1/15，1/20。现从 这十箱产品中任取一箱，再从中任取一件产品。 求取得正品的概率？
例 3．有朋自远方来，他乘坐火车、轮船、 汽车、飞机的概率分别为 0.3、0.2、0.1、 0.4。若坐火车，则他迟到的概率为 0.25， 其余分别为 0.3，0.1 和 0。问此人最后可 能迟到的概率是多少？
在例２中又问：若取到的是正品，那么它是 由甲厂生产的概率是多少？
在例3中又问：若这个人迟到了，那么他是 坐轮船来的概率有多大？
一个，无放回地取两次，求第二次取 到新球的概率？
解：记 A={第一次取到新球}， B={第二次取到新球}
则 P
B
3 5
2 4
2 5
3 4
3 5
P A PB A PAPB A
P AB P AB P AB U AB
PB
特点： 对 B 的发生有影响的事物有多种可能性，要 将它们都综合在一起考虑，综合的思想是一 个加权平均。公式具有普遍性。
而成，第 i 个元件的可靠度为 pi ，则该系 统的可靠度为 p1 p2 L pn 。
（2）并联系统：设一个系统由 n 个元件并联 而成，第 i 个元件的可靠度为 pi ，则该系
n
统的可靠度为1 1 pi 。 i 1
例1． 求下列混联系统的可靠度，其中每个元 件的可靠度都是 p 。
1 3
2
4
在 n 重贝努利试验中，我们主要研究事件 A 发生的次数及事件 A 恰好发生 k 次的概率。
问题的一般提法： 设单次试验中，事件 A 发生的概率为 p ，
将此试验重复独立地进行 n 次，问事件 A 发
生 k 次的概率（记为 Pn k ， k =1,2,…, n ）是多
少？
定理：n 重贝努利试验中 A 发生 k 次的概
解: P(A)=4/10=2/5, P(AB)=p(A)p(B|A)=4/10 ×3/9=2/15,
P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB) =2/15×2/8=1/30.
二．事件的相百度文库独立性
定义 1.3 称两个随机事件 A、B 是相 互独立的，如果
P(AB)=P(A)P(B)
思考： 相互独立与互不相容有何区别？
为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条 件概率。
1. PABCPPAC BC
2. PABUCPPA B B U U C C
条件概率也是概率，满足概率的公理化 定义中的三条公理，即
公理1. P（A│B）≥0； 公理2. P（Ω│B）=1； 公理3. P（∪Ai│B）=∑P（Ai│B）
p(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10,
p(B|A)=p(AB)/p(A)=1/2
例3(课本第18页例1.14) 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年 的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建 筑物经历了50年之后，它将在10年内 倒塌 的概率有多大？
解：B：该建筑物的寿命在５０年以上， A：该建筑物的寿命在６０年以上．
系统可靠度为
P 2P2 3P3 P4
四. 贝努利概型与二项概率
如果在一个试验中我们只关心某个事件 A 发生与否，那么称这个试验为贝努利试验。
此时试验的结果可以看成只有两种：A 发 生或 A 不发生。
相应的数学模型称为贝努利概型。
如果把贝努利试验重复独立地做 n 次，则 称这 n 次试验为 n 重贝努利试验。
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可见 P AB P A PB
例 1：甲、乙两人同时向一敌机炮击， 二人击中敌机的概率分别为 0.6 和 0.5，求敌 机被击中的概率。 解:
设 A={甲击中目标} ，B={乙击中目标} ， A、B 相互独立，所求概率为
P A U B P A P B P AB
0.6 0.5 0.6 0.5 0.8
上述概率可以记为P（A│B） P（A│B）=4/11
事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为{11个兰色球}，n=11
进一步我们发现，
P（A│B）=P（AB）/P（B）
定义 ：给定一个随机试验，Ω是它的样本空 间，对于任意两个事件A、B，其中 P（B）＞0，称
P（A│B）=P（AB）/P（B）
解出n ≧5.027,即至少需要6门炮才能以 99%的把握命中敌机。
三 独立性在可靠性问题中的应用
一个产品或一个元件、一个系统的可靠 性可以用可靠度来刻划，所谓可靠度指的是 产品能正常工作的概率。
以下讨论中，假定一个系统中的各个元 件能否正常工作都是相互独立的。
两个基本模型： （1）串联系统：设一个系统由 n 个元件串联
例2． 设每次射击命中目标的概率等于 0.001， 如果射击 5000 次，试求至少两次命中 目标的概率。
P 5 0 0 0 k 2 1 P 5 0 0 0 0 P 5 0 0 0 1 0 . 9 5 9 6
§3.2 全概公式与逆概公式
一 ．全概公式
例 1． 5 个乒乓球，3 新 2 旧。每次取
四个等式都成立。
定义可以推广到n个事件上去
特别地，当 A1, A2,L , An 相互独立时，
有 P A1A2 L An P A1 P A2 L P An
上述定理也可以推广。
例 2：设某型号的高射炮，每一门炮发 射一发炮弹击中敌机的概率为 0.6，现若干 门炮同时发射（每门一发）问至少需配置 几门高射炮，才能以 99%的把握命中敌机？
上式即等价于
PB A PB，（当P A 0）
它的直观意义是一个事件的发生不影响另一 个事件发生的概率。上式也等价于
P A B P A，（当 p(B)>0）
.
独立性往往蕴涵在事物的内部。
一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张， A={抽到K}，B={抽到红桃}，可以验证事件A,B 是相互独立的.
二． 逆概公式（贝叶斯公式）
如果随机事件 A1, A2 ,L , An 构成完备事件组，
且都具有正概率，则对任一事件 B （ PB 0 ），
有
P
Aj B
P
n
Aj
P
B Aj
， j 1, 2,L , n
P Ai P B Ai
i 1
例
2
中，
P A1
B
45 92
例 3 中， P A2 B 0.4138
P A 4 ， P B 13 ， P AB 1
52
52
52
可见 P AB P A PB
抛一枚均匀硬币2次，A={第一次正面向上} ， B={第二次正面向上},可以验证事件A,B是相互独 立的.
样本空间为{正正，正反，反正，反反}
P A 2 ， P B 2 ， P AB 1
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第三章
§3.1条件概率与独立性
一 条件概率 二 随机事件的独立性 三 独立性在可靠性问题中的应用 四 贝努利概型与二项概率
一 条件概率
问题的提法： （1）给定一个随机试验，Ω是它的样本空
间，问“事件A发生的概率”？ （2）在上述前提下，问“已知某事件B已经 发生了，那么事件A发生的概率是多少”？
p(B| A2)=0.01
PB P A1 P A1 B P A2 P A2 B
0.005 0.95 0.9950.01 0.0147
P A 1B P A 1 P P B B A 1 0 .0 0 0 .0 5 1 4 0 7 .9 5 0 .3 2 4
解题关键： 寻找完备事件组。
P（AB）=P（A）P（B│A） 或
P（AB）=P（B）P（A│B）
乘法公式可推广到多个随机事件上去 ， P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB)
例5，10个考题中，4难6易。三人参加抽题 （不放回），甲先、乙次、丙最后。记事件A、B、
C分别表示三人各抽到难题。试求： P（A），P（AB），P（ABC）.