行列式课件详解

a i 1 a i 2 a in
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
感谢下载
8
性质6若行列式的某一列（行）的元素都是两数之
和，
a11 a12 (a1i a1i) a1n
例如
Da21 a22 (a2i a2i) a2n
an1 an2 (anian i) ann
15
证明
对D1 作 运r算 i krj， 把 D1 化 为 下 三 角 形 行
p11 设为D1
pk1
0 p11pk k;
pk k
对D2 作 运c算 i kcj,把D2 化 为 下 三 角 形 行
q11 设为D2
qn1
0 q11qnn.
pnk
感谢下载
16
对D的 前 k行 作 运 ri 算 krj， 再 对 n列 后作 运 算ci kcj,把D化 为 下 三 角 形 行 列
an2
a n 1 a n 2 a nn
a 1 n a 2 n a nn
行列式 D称T 为行列式 的D转置行列式.
性质2 行列式与它的转置行列式相等.
感谢下载
2
证明 记Ddeatij的转置行列式
b11 b12 b1n DT b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
即 b ij a jii,j 1 ,2 , ,n ,按定义 D T 1 t b 1 p 1 b 2 p 2 b n n p 1 t a p 1 1 a p 2 2 a p n n .
[注] 交换i，j 两行，记作 ri rj ; （row 行） 交换i，j 两列，记作 ci cj ; （column 列）
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 DD,
D0.
感谢下载
6
性质4 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k，等于用数 乘k此行列式.
bn1 bn2 bnn
是由行列式 D d变a e 换ijt两行i得, j到的,
感谢下载
4
即当 ki, j 时, bkpakp; 当 ki, j时,
b ip ajp ,b jp a ip ,
于是
D 1 1 tb 1 p 1 b ii pb jjp b n np
1 ta 1 p 1 a jip a ijp a nnp
a 3ab 6a3bc 10a6b3cd
感谢下载
14
a11 a1k
0
例4
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 D1 deta(ij)
ak1
a1k
b11
,D2 detb(ij)
akk
bn1
b1n , bnn
证明 DD 1D2.
感谢下载
又因为行列式D可表示为 D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n .
故 DDT.
证毕
感谢下载
3
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质3 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明 设行列式
b11 b12 b1n
D1
b21 b22 b2n ,
第一章
第一章 行列式
第五节 行列式的性质
感谢下载
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、行列式的性质
性质1 在行列式中若有一行或一列为零则行列式为零.
定义: 行列式的转置
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 21 a n 1
记 D a 21 a 22
a2n
DT a 12 a 22
2 1 41
例１
3 1 2 1
D
1 2 32
6 0 62
3111
例2
1311
D
1131
11Байду номын сангаас3
感谢下载
11
a b b
b a b
ex1. 计算 n阶行列式 D b b a
b b b 解 将第 2,3,都,n加到第一列得
a n 1b b b b a n 1b a b b Da n 1b b a b
子可以提到行列式符号的感谢外下载面．
7
性质5 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
证明
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 12 a 1 n
a i 1 a i 2 a in
a i 1 a i 2 a in
k 0.
ka i 1 ka i 2 ka in
1 ta 1 p 1 a ijp a ji pa n n ,p
其中 1i jn为自然排 , 列
t为 排 p1 列 pipjpn的 逆.序 数 设排p1列 pipjpn的逆序t1,数 则有为
感谢下载
5
1t1t1,
故 D 1 1 t 1 a 1 p 1 a ij p a ji p a n n p D . 证毕
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 12 a 1 n
ka i 1 ka i 2 ka in k a i 1 a i 2 a in
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
[注] 行的变换，记作 ri k ;
列的变换，记作 ci k ;
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因
则D 等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n Da21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
感谢下载
9
性质7把行列式的某一列（行）的各元素乘以同
一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列 式不变．
a n 1b b b a
感谢下载
b b b a
12
1 b b b
1 a b b
a (n 1)b 1 b a b
1 b b a 1b b b
ab
a(n1)b
0 ab
a (n 1 ) b (a b )n 1 .
0 ab
感谢下载
13
例3
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2ab 3a2bc 4a3b2cd
例如
a11 a1i a1j a1n
a21 a2i k a2j a2j
an1 ani anj anj
a11 (a1i ka1j) a1j a1n
ci kcj a 21
(a2i ka2j)
a2j
a2j
an1 (ani感k谢a下n载j) anj anj 10
二、例题与练习