直线与圆锥曲线的交点知识讲解

直线与圆锥曲线的交

点

课题直线与圆锥曲线的交点

设计：宁勇强审核：包科领导： 2020年6月2日

学习目标：理解曲线交点的概念，会通过联立方程求解的办法求曲线的交点，会用设而不求的方法解决有关直线与圆锥曲线交点的综合问题。

导读曲线的公共点分交点和切点两种，都可以通过联立方程求解的方法求出公

共点，但更多的时候交点是不必求出的，只要把由交点引起的问题予以解决即可，

这就需要解析几何中一种非常重要的处理办法：设而不求。

（1）曲线0

(=

,

x

g的交点问题，可以通过讨论方程组的

)

y

f与0

)

(=

,

x

y

解

来解决。也就是说两条曲线的交点问题与完全等价。

（2）交点问题一般有“定性、定量、定点”三个层次。“定性”讨论有没有公共点，

“定量”讨论有几个公共点，“定点”要求出公共点的坐标。第三层次的问题求出方程

组的解即可，第二层次的问题只要判断出方程组的解的个数即可，而第一层次的问

题只需知道方程组有解与否。

（3）交点问题其实就是位置关系问题。直线与圆的位置关系

有，，三种，由几何条件确定，结论

是：。如果用代数方法确定，首先联立直线与圆的方程，接着消元得一元二次方程，判别式为△，则结论是： .直线与椭圆的位置关系可类似这里的第二种方程讨论。另外，画图是讨论位置关系的一种非常有效的方法。

（4）如果问题只是与交点有关，那么可以只设出交点的坐标，通过整体代入解

决问题而不具体求点的坐标，这种方法在解析几何中称“设而不求”。它往往需要中

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

点坐标、韦达定理和弦长公式、斜率公式等来配合。常用的方法有“k 参数法”（也可称之为设代法）和“点差法”。

（5）曲线上两点间的线段称为弦。弦长当然可用两点的距离公式来求。斜率为k 的弦可用如下公式求弦长：｜AB ｜＝||11||1212212y y k

x x k -+=-+， 其中 21221214)(||x x x x x x -+=-， 21221214)(||y y y y y y -+=-.

自学检测：

1.直线0=-y x 与曲线2222=+y x 的交点坐标是 ，所得弦长为 .

2.过P(0，2)的直线与曲线12+=x y 有 个交点.

3.已知过P(0，2)的直线l 与曲线2222=+y x 相切，则l 的方程

为 .

4.过点（-1，1）与曲线x y 42=有一个公共点的直线有 条。

5.过点(0，2)与曲线2222=-y x 有一个公共点的直线有 条。

我的疑问与困惑：

研究1 交点个数与位置关系的讨论

例1 通过画图、观察，讨论直线1+=kx y 与双曲线14

22

=-y x 的位置关系。

小结：一般地，

变式1直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 仅有一个公共点，求k 的范围。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

变式2 通过画图、观察，讨论过点A （-2,1）的直线与抛物线x y 42=的位置关系。

小结：①过焦点的弦称为焦点弦。与主轴垂直的焦点弦称为通径。抛物线

)0(22>=p px y 的通径长为p 2，这也是抛物线标准方程中系数p 2的一个几何意义。②一般地，

研究2 弦长公式的应用

例2 椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，已知22||=AB ，且AB 的中点

C 与椭圆的中心连线的斜率为2

2，求椭圆方程。

小结：

研究3 直线与圆锥曲线的综合问题

例3 已知抛物线x y -=2

与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点。求证：OA ⊥OB .

小结：

例4 已知双曲线2

x －3

2

y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，求直线AB 的斜率

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

小结：

1．已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m

y 2

=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是： A.（0，1） B.（0，5） C.［1，5）∪（5，+∞） D.［1，5） 2．已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +9

2

y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____ ________.

3．AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=________ ____.

4．直线022=+-y x 与椭圆4422=+y x 的交点为A 、B ，求A 、B 间的距离。

5．过抛物线x y 42=的焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，O 抛物线的顶点，求△OAB 的面积的最小值。

6．中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为

2

3，与直线01=-+y x 相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1. 过点P (00,y x )的直线方程既可设为 ，还可设为

00)(x y y k x +-=.从本质上说，两种设法是相当的。一般情况下都可以按第一种方法设，但有时选后一种设法会使问题的讨论更简捷。如果弦AB 所在直线方程按第二种方法设，则弦长公式应为：

|| 1||21y y AB -+=|| 121x x -+=.

其中的k 的几何意义

是 .

2. 求过点（0，2）的直线被椭圆2x ＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程。

3. 在抛物线y x 42

=上恒有两点关于直线)3(-=x k y 对称，求k 的取值范围。