近世代数习题解答(张禾瑞)一章

近世代数习题解答

第一章 基本概念

1 集合

1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下

当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾; 若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A =

2.假定B A ⊂,?=B A I ,A ∩B=? 解׃ 此时, A ∩B=A,

这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A =I ,B B A ⊃Y , 及由B A ⊂得B B A ⊂Y ,故B B A =Y ,

2 映射

1.A =}{

100,3,2,1，⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射.

2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象.

3 代数运算

1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?

解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不

只一个.

2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解׃

a b c a

a b c a b c b b c a

a

a a a

c c a b b

d a a

c

a a a

4 结合律

1.A ={所有不等于零的实数}.ο是普通除法:b

a

b a =ο.这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律: 2

1

2)11(=οο, 2)21(1=οο ,从而 )21(12)11(οοοο≠.

2.A ={所有实数}.ο: b a b a b a ο=+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?

解׃ 这个代数运算不适合结合律

c b a c b a 22)(++=οο,c b a c b a 42)(++=οο

)()(c b a c b a οοοο≠ 除非0=c .

3.A ={c b a ,,},由表

所给的代数运算适合不适合结合律?

解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.

5 交换律

1.A ={所有实数}.ο是普通减法:b a b a -=ο.这个代数运算适合不适合交换律?

解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =.

2.},,,{d c b a A =,由表

a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d

d c a b

所给出代数运算适合不适合交换律? 解׃ d d c =ο, a c d =ο

a b c a

a b c

b b

c a c

c a b

从而c d d c οο≠.故所给的代数运算不适合交换律.

6 分配律

假定:⊗⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,

⊕⊗,适合两个分配律.证明

)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ )()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗= 证)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗׃ =])[(])[(221121b a a b a a ⊗⊕⊕⊗⊕ =)()(2121b b a a ⊕⊗⊕

=)]([)]([212211b b a b b a ⊕⊗⊕⊕⊗

)()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗=

7 一 一 映射、变换

1.A ={所有0〉的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-

A 间的意义映射.

证 φ:a a a log =→-

因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数

即 A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =⇒=.因此φ是A 到-

A 的映射.

又给了一个-

A 的任意元-

a ,一定有一个A 的元a ,满足-

=a a log ,因此φ是A 到-

A 的满射.

a a a log =→-

b b b log =→-

若 b a ≠, 则 b a log log ≠.即 -

-

≠⇒≠b a b a 因此φ又是A 到-

A 的单射.总之,

φ是A 到-

A 的一一映射.

2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-

A 的满射. 证 a a a sin :=→-φ,容易验证φ是A 到-

A 的满射.

3.假定φ是A 与-

A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1

=-A φφ

?)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?

解׃ a a =-)]([1

φφ, a a =-)]([1

φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([1

1

a a a a ==--φφφφ

8 同态

1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-

A 的同态满射?

x x a →) x x b 2)→ 2

)x x c → x x d -→)