辅助角公式专题练习
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辅助角公式专题训练
一.知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下: y=asinx+bcosx =
++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·
。记
a a b
2
2
+=cos θ,
b a b 22
+=sin
θ,则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+
由此我们得到结论:asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ,(*
cos ,θ=
sin θ=来确定。通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终
化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。 二.训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数 (1
)1sin 22
αα+; (2
cos αα+;
(3)sin cos αα- (4
)
sin()cos()6363
ππ
αα-+-.
(5)5sin 12cos αα+ (6)sin cos a x b x +
2.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x -cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6+x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .-5
3.若函数,,则的最大值为 ( )
A .1
B .
C .
D .
4.(2009安徽卷理)已知函数,的图像与直线的两个相邻交点的距离等于,则的单调递增区间是( )A. B.C. D.
5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-
π
8
对称,那么a= ( ) (A )2 (B )-2 (C )1 (D )-1 6.函数y =cos x +cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x +
π3的最大值是________.
7.2)cos()12
12
3x x π
π
+
++
=
,且 02
x π
-<<,求sin cos x x -的值。
8.求函数f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ
(,)x R k Z ∈∈的值域。
6.(2006年天津)已知函数( a 、b 为常数,,)在处取得最小值,则函数是 ( )
A .偶函数且它的图象关于点对称
B .偶函数且它的图象关于点对称
C .奇函数且它的图象关于点对称
D .奇函数且它的图象关于点对称
9.
若sin(50)cos(20)x x +++=o o 0360x ≤ 11.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1 (cos(),)32 b x π=+-r , (sin(),0)3 c x π =+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值. (本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =) 参考答案 1.(6 ) sin cos ) ) a x b x x x x ϕ+=+ =+ 其中辅助角ϕ 由cos sin ϕϕ⎧ =⎪ ⎪ ⎨⎪= ⎪⎩ 确定,即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b 2.[答案] C [解析] y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x -cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x -cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π6+x =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6(x ∈R ). ∵x ∈R ,∴x +π 6 ∈R ,∴y min =-1. 3.答案:B 解析 因为== 当是,函数取得最大值为2. 故选B 4.答案 C 解析 ,由题设的周期为,∴, 由得,,故选C 5.解:可化为y a x =++122sin()θ。 知x =-π 8 时,y 取得最值±12+a ,即 7. [答案] 3 [解析] 法一:y =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3·cos π3+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3sin π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3 =32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3 =3⎣⎢ ⎡⎦⎥⎤32 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3 =3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-x -π3=3cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x +π6≤ 3. 法二:y =cos x +cos x cos π3-sin x sin π 3 =32cos x -32sin x =3⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 32cos x -12sin x =3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6, 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6=1时,y max = 3. 10.解: 。 )2 x 2sin(4] 6 sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4) x 23sin(32)x 23cos(2)x 23 sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π +=π +π+π+π=+π ++π=+π +-π-π++π+ π=