矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记

Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数

定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。

1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量

在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。

若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量：

332211e e e r x x x ++=

若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为

332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++=

则矢量

333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为

232221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则

α/i a

叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。

1.2 矢量的基本代数运算

现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则

1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+

2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=-

3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则

332211e e e αa a a λλλλ++=

4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量

θcos 332211βαβα=++=⋅b a b a b a

其中],0[πθ∈是α，β之间的角。

矢量α，β相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。零矢与任意矢量垂直。 矢量α和单位矢量e 的数积等于α在e 的方向的垂直投影。

5） 矢积（叉乘）：矢量α，β的矢积是矢量

n βαe e e βαθsin 3

21321

321

==⨯b b b a a a 其中n 为α，β不平行时，同时垂直于α，β的幺矢，且α，β，n 按此次序构成右手系。

αβα⊥⨯，ββα⊥⨯

矢量α，β相互平行的充要条件是它们的矢积等于零。零矢与任意矢量平行。 运算规律一览

若α，β，γ是任意矢量，λ，μ是任意纯量，则

1） 结合律：

αα)()(λμμλ=

)()(γβαγβα++=++

)()(βαβα⋅=⋅λλ

)()(βαβα⨯=⨯λλ

2） 交换律：

αββα+=+