仿射变换原理解析
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定理 仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合. 则有
(1) ? ? , ?? A, 有?? ? A. (2) 恒同变换i? A. (3) ? ? ? S, 存在? ?1? A, 满足?? ?1?? ?1? ?i.
上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而 且M? S? A.
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全 等的矩形.
几种特殊的仿射变换
推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.
正交变换? 将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角 坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
或
? ? ?
x' ?
y
'
? ?
?
? a11
? ?
a
21
a12 a 22
?? ?? ??
x? y ??
?
? a13
? ?
a
23
? ?. ?
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A?
? ? ?
a11 a21
a12 a 22
ห้องสมุดไป่ตู้
? ? ?
满足|A|?0, 称为仿射变换? 的矩阵.
设A, C分别在? B两边上且异于B, 则A', B'分别在? B'的两边上. 且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即? ABC?? A'B'C', 于是, ? B =? B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) ? ? , ?? M, 有?? ? M. (2) 恒同变换i? M. (3) ? ? ? M, 存在? ?1? M, 满足?? ?1=? ?1? =i.
上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
几种特殊的仿射变换
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的 几何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行 性、共线三点的简单比有关.
几种特殊的仿射变换
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
注：设? 为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 ? (A)=A', ? (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, ? 为正交变换, 且上述三点在? 下的像依次为A', B', C'.
若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变 换的定义有
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向
量ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定,
? ??
x
?
OPx OEx
?
( PxE
xO)
?
? ??
y
?
OPy OEy
?
(PyE
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
仿射变换
定义 设? 为平面?上的一个点变换, 满足 (1) ? 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) ? 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) ? 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称? 为?上的一个仿射变换.
yO)
uuur OP ? xex ? yey.
反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点 具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面 称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
注 若ex, ey为单位正交向量, 则O-exey成为笛卡儿直角坐标系.
?
即A', B', C'仍然为不共线三点.
?| A' BB' | ? | 'C ' |?| A'C ' | ??| A' BB' | ? | 'C ' |?| A' C ' |
几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, ? 为正交变换, 且上述三点在? 下的像依次为A', B', C'.
注2. ?, ?'的交线称为透视仿射的轴. 若?//?'则没有轴.
仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面?, ?1, ?2, …, ?n, ?', 设以下对应均为 透视仿射对应：
?0 :? ? ?1, ?1 : ?1 ? ? 2 , ..., ?n :? n ? ? '
则称这n个透视仿射的积? 为?到?'的一个仿射对应. 若?'??, 则称? 为平面? 上的一个仿射变换.
| AB | ? | BC |?| AC | ?
| A' B' | ? | B''C |?| A''C | .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
?| AB | ? | BC |?| AC | ??| AB | ? | BC |?| AC |
仿射变换
定理 平面?上的仿射变换? 将一个仿射坐标系O-exey变为另一 个仿射坐标系O'-e'xe'y.
定理 设在平面?上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换? 为? 上的一个仿射变换? ? 有表达式
? ? ?
x' y'
? ?
a11x ? a21x ?
a12 y ? a22 y ?
a13 a23
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应 定义 对于空间中两平面?, ?', 给定一个与两平面不平行的投射 方向, 则确定了?到?'的一个透视仿 射对应(平行投影). ? 上任一点P在? '上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与?'的 交点P'.
注1. 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
(1) ? ? , ?? A, 有?? ? A. (2) 恒同变换i? A. (3) ? ? ? S, 存在? ?1? A, 满足?? ?1?? ?1? ?i.
上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而 且M? S? A.
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全 等的矩形.
几种特殊的仿射变换
推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.
正交变换? 将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角 坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
或
? ? ?
x' ?
y
'
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21
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x? y ??
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其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A?
? ? ?
a11 a21
a12 a 22
ห้องสมุดไป่ตู้
? ? ?
满足|A|?0, 称为仿射变换? 的矩阵.
设A, C分别在? B两边上且异于B, 则A', B'分别在? B'的两边上. 且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即? ABC?? A'B'C', 于是, ? B =? B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) ? ? , ?? M, 有?? ? M. (2) 恒同变换i? M. (3) ? ? ? M, 存在? ?1? M, 满足?? ?1=? ?1? =i.
上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
几种特殊的仿射变换
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的 几何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行 性、共线三点的简单比有关.
几种特殊的仿射变换
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
注：设? 为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 ? (A)=A', ? (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, ? 为正交变换, 且上述三点在? 下的像依次为A', B', C'.
若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变 换的定义有
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向
量ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定,
? ??
x
?
OPx OEx
?
( PxE
xO)
?
? ??
y
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OPy OEy
?
(PyE
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
仿射变换
定义 设? 为平面?上的一个点变换, 满足 (1) ? 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) ? 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) ? 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称? 为?上的一个仿射变换.
yO)
uuur OP ? xex ? yey.
反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点 具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面 称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
注 若ex, ey为单位正交向量, 则O-exey成为笛卡儿直角坐标系.
?
即A', B', C'仍然为不共线三点.
?| A' BB' | ? | 'C ' |?| A'C ' | ??| A' BB' | ? | 'C ' |?| A' C ' |
几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, ? 为正交变换, 且上述三点在? 下的像依次为A', B', C'.
注2. ?, ?'的交线称为透视仿射的轴. 若?//?'则没有轴.
仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面?, ?1, ?2, …, ?n, ?', 设以下对应均为 透视仿射对应：
?0 :? ? ?1, ?1 : ?1 ? ? 2 , ..., ?n :? n ? ? '
则称这n个透视仿射的积? 为?到?'的一个仿射对应. 若?'??, 则称? 为平面? 上的一个仿射变换.
| AB | ? | BC |?| AC | ?
| A' B' | ? | B''C |?| A''C | .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
?| AB | ? | BC |?| AC | ??| AB | ? | BC |?| AC |
仿射变换
定理 平面?上的仿射变换? 将一个仿射坐标系O-exey变为另一 个仿射坐标系O'-e'xe'y.
定理 设在平面?上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换? 为? 上的一个仿射变换? ? 有表达式
? ? ?
x' y'
? ?
a11x ? a21x ?
a12 y ? a22 y ?
a13 a23
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应 定义 对于空间中两平面?, ?', 给定一个与两平面不平行的投射 方向, 则确定了?到?'的一个透视仿 射对应(平行投影). ? 上任一点P在? '上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与?'的 交点P'.
注1. 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.