高三立体几何 直线在平面上的射影,直线和平面所成的角

D A HC与EF在平面 ABCD上的射影 分别是什么？ B
DC与AB
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
四、射影长定理
从平面外一点向这个平面
所引的垂线段和斜线段中，

B
O
C
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
A B
C
D
Eห้องสมุดไป่ตู้
从平面外一点向 这个平面所引的垂 线段和斜线段AB、 AC、AD、AE…中， 那一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
A
从平面外一点向这个平面所引 的垂线段和斜线段,若:
OB=OC AB=AC

B
O
C
OB＞OC AB ＞AC AB=AC OB=OC
AB ＞AC OB＞OC
三、斜线的射影、斜线段的射影的概念
A B C
斜线上任意一点 在平面上的射影，一 定在斜线的射影上。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
练习
两条相交直线、两条平行直线、两条异面 直线在一个平面内的射影分别是怎样的图 形？
一、斜线、斜足、斜线段的概念
A C

一条直线和一个平面 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 交点叫做斜足。
斜线上一点与斜足间的线段叫做这点 到这个平面的斜线段。
二、点在平面内的射影
p

O
自平面外一点向 平面引垂线，垂足 叫做这点在这个平 面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。
N N
例4.如图，AO是平 面π的斜线，AB ⊥平 面π于B，OD是π内不 与OB重合的直线， ∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证： cos =cos cos
A
O


C
B D
a b
a
b

a b
A
a b
B


两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行 直线、一条直线或是两个点。
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角。
D1
O
C1
A1
B1
D
C
A
B
思考:若上题改为在长方体ABCD-A1B1C1D1中 呢，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角 又是哪一个呢?
D1
H
C1
A1
B1
D
C
A
B
例3.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘 米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成 N 角。 ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4
θ 与∠AOD的大小关系如何？
A
l
θ与∠AOD的大小关系如何？
θ ＜ ∠AOD ＜ 90
O

C B D

最小角原理
斜线和平面所成 的角，是这条斜线和 平面内经过斜足的直 线所成的一切角中最 小的角。
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平 面内任意的直线所成的一切角中最小的角。
例1、已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3， CC1=2，求A1B，A1D，A1C和分别与平面ABCD、平 面ADD1A1、平面ABB1A1的交角的大小。
A
B
O
从平面内一点发出 从平面外不同点发 的斜线段，长度虽然 出的斜线段，长度虽 相等，但射影不一定 然相等，但射影不一 相等。 定相等。
练习
点P是△ABC所在平面 外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离相 等，则P点在△ABC所 在平面上的射影是 △ABC的 外 心。
P
A
O
C B
五、直线与平面所成的角
D1
A1 B1
C1
AB1与A1B在平 面CDD1C1内的 射影是什么？ AB1与A1B在平 面BCC1B1内的 射影是什么？
D
C
A B 两条相交直线在同一平面的射
AB1与A1B1在平 面BCC1B1内的 影是两条相交直线、一条直线或 射影是什么？ 直线和直线上一点。
H
E F
G
HC与FG在平面 ABCD上的射影 分别是什么？ DC与BC FG与EA在平面 C ABCD上的射影 分别是什么？ BC与A点

平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成 的锐角，叫做这条斜线 和这个平面所成的角。

斜线和平面所成角的范围是 （0，90） 规 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 定
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是 [0，90]
A
l
O

B D

l是平面 的斜线，A 是l上任意一点，AB 是平面 的垂线，B 是垂足，OB是斜线l 的射影，θ 是斜线l 与平面 所成的角.