n
a +11
乘积，结合无穷等比数列的和公式
311=-q b 可知32=q ，即需证2
1
3211≥?≤+n n a a 。
类似题：数列{a n }满足a n+1 =a n 2 -n a n +1。
（1）当a 1 =2时，求a 2，a 3，a 4，并猜测a n 的表达式； （2）当a 1 ≥3时，求证： ①a n ≥n+2；（进一步得出a n+1 =（a n -n ）a n +1≥2a n +1）
②++++211111a a (2)
1
11≤++n a 。
三、构造拆项相消法求和的数列，完成放缩。
例6：（2010湖北预赛）设数列{}n a 满足11=a ，412=
a ，()()211≥--=+n a n a n a n
n n 。
（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 求证：对一切*N n ∈，有
6
71
2<
∑=n
k k a 。 分析：（1）将递推关系式化为
()()
11
1111--
-=+n n a n na n n ，2≥n ， 用叠加法得2,231≥-=n n a n ，经验证1=n 时也适用，所以2
31
-=n a n 。 （2）()
2
2
231
-=
n a n 求和要放大，可以联想到()11+n n 的求和。 注意到和式：
()()23231
4
41111--++?+?n n
改为
()()31
131131132317
41411
其中一点“放大”，另一点公差为3。所以可设计为??
?
??--+>1312131167n ， 只需证：()()()1343232
-->-n n n 。
练习：
1、已知数列{a n }的前n 项和为n S ，满足a 1 =2，n n a S 22=+。 （1）求n a ； （2）求证：
()()()()()()3
1
1111111322211<++++++++++n n n a a a a a a a a a 。
2、已知n a 为方程13
=+
n
x
x 的解。求证： （1）对任意的1≥n ，有>+1n a n a ； （2）()11112
+<+∑=n n
a i n
i i
。
高考数列与不等式压轴题 1. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证： 12321 1111 ...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当01λ<<时，设1 ()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ?????? 的前n 项和为n T ，求证： 91 43 n n T n -> +。 2. （2013?蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311 23()2 n n n a a a na a n N +++++???+= ∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2 {}n n a 的前n 项和n T ； 3) 若存在* n N ∈，使得(1)n a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围． 3. （2010?无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列． 1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =； 2) 设*5(1)()n n n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围． 4. 已知数列{}n a 中，2 2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项． 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2 3 - 的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ?<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 5. 已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1 n n n n a a m a n N a +++=∈+。 1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围． 2) 在31m -≤<时，证明： 121111 11112 n n a a a ++???+≥-+++ 3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*() 10()n n n a na n N +-=∈，求证：1 02 n a ≤≤ 。
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
第3讲 数列的综合问题 [考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等． 热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1.数列{a n }中，a n 与S n 的关系 a n ＝??? ?? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中，满足 a n ＋1 a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 例1 (2018·浙江)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足 b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n . (1)求q 的值； (2)求数列{b n }的通项公式． 解 (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项， 得a 3＋a 5＝2a 4＋4， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8. 由a 3＋a 5＝20，得8? ?? ??q ＋1q ＝20， 解得q ＝2或q ＝1 2. 因为q >1，所以q ＝2. (2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n . 由c n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1(n ∈N * )． 由(1)可得a n ＝2 n －1 ， 所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×? ?? ??12n －1 ，
数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对 值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①?? ?≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；② {}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：① )(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.第一节通项公式 常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322 -+=n n S n ； ⑵12+=n n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系： ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如 “ ) (1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 1 1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例1．证明：当Z n n ∈≥,6时， (2) 12 n n n +<. 证法一：令)6(2) 2(≥+=n n n c n n ， 则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时， 2 (2) 1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时， 66(62)483 12644 ?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2) 1.2 k k k +< 则当n =k +1时， 1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++g 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2 (1) 12 n n +<. 二、借助数列递推关系 例2.已知12-=n n a .证明： ()23111123 n n N a a a *++++<∈L . 证明：n n n n n a a 1 21121212211211111?=-?=-<-=+++Θ ， ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S Λ. 例3. 已知函数f(x)=52168x x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=． (1) 试比较n a 与 5 4 的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1 n i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n －1)． 分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：(1) 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<
数列与不等式的综合问题 测试时间： 120分钟 满分：150分 解答题（本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 1. [2016 ?银川一模]（本小题满分15分）在等差数列｛刘中，a i = 3,其前n 项和为S, 等比数 列｛b n ｝的各项均为正数，b 1 = 1，公比为q （q z 1），且b 2+ S 2= 12, q = f 2. b 2 （1） 求 a n 与 b n ； …1 1 1 1 2 （2） 证明：3< S +§+…+ S <§. b 2 + S 2= 12 , 1 1 1 故 S +S +…+ s n = 1 —百.（12 1 1 因为n >2所以0<市三$于 1 2 1 2 所以21 —市＜2, 1 1 1 1 2 即 3= S 1 + S 2+…+ s n <2.（15 分） 3 3a 2. [2017 ?黄冈质检]（本小题满分15分）已知数列｛◎｝的首项a 1= , a n +1 = 二,n 5 2a n + 1 a 1 a 2 a n 2 1 1 （2） 记S = + — + ???+—，若$<100，求最大正整数 n . （1）设｛a n ｝的公差为d ,因为 q + 6 + d = 12, 所以 6 + d q = 解得 q = 3 或 q =— 4（舍），d = 3.（4 分） 故 a n = 3+ 3（ n — 1） = 3n , b n = 3n 1 .（6 分） ⑵证明：因为S n = n 3+ 3n （8分） 1 所以S n 3+ 3n 1 1 n n +1 .（10 分） 1 1 - 2 1 1 2- 3 1 1 3-4 + … + 1 1 n n +1
数列与不等式复习题（一） 1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a n n D ．()43) 1(1 --=-n a n n 2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01 31 2>+-x x 的解集是 （ ） A ．}21 31|{>-x x D ．}3 1 |{->x x 5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A.5 B.4 C. 3 D. 2 6．数列 ,16 1 4 ,813,412,21 1前n 项的和为（ ） A ．2212n n n ++ B ．122 12+++-n n n C ．22 12n n n ++- D ． 2 2121 n n n -+- + 7．f x ax ax ()=+-2 1在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤0 B ．a <-4 C ．-<<40a D ．-<≤40a 8．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） (A)1 2 2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 9．已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a . 10．若方程x x a a 2 2 220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是 __________________．
数列中的不等式的证明 证明数列中的不等式的一般方法： 1.数学归纳法： ①直接应用数学归纳法：这是由于数学归纳法可以用来证明与正整数相关的命题，当然也包括与正整数 相关的不等式（即数列不等式）； ②加强命题后应用数学归纳法：直接应用数学归纳法并不能证明所有数列不等式，有些数列不等式必须 经加强后才能应用数学归纳法证出. 2.放缩法： ①单项放缩:将数列中的每一项（通项）进行相同的放缩； ②裂项放缩：将数列中的每一项裂开放缩成某两项之差； ③并项放缩：将数列中的两项合并放缩成一项； ④舍（添）项放缩：将数列中的某些项舍去或添加； ⑤排项放缩：将数列中的项进行排序（即确定数列的单调性），从而求出数列中项的最值，达到证明不 等式的目的,能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明，反之亦然； ⑥利用基本不等式放缩：例如平均数不等式也可在数列不等式的证明中起作用. 一、直接应用数学归纳法证明 1．已知函数ax x x f +-=3 )(在)1,0(上是增函数. )1(求实数a 的取值集合A (2)当a 中取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+且)1,0(1∈=b a ，b 为常数，试比较n n a a 与1+的大小 (3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c 使10<-n n a a （3）}{12-n a 递增. 4．(2004.辽宁理科高考第21题) 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于6 1，又当.8 1)(,]21,41[≥∈x f x 时 （1）求a 的值； （2）设.1 1.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明 5．(2005.重庆理科高考第22题)数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a n n n 且. （1）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ； (2) 已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….
高考专题——放缩法 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?= ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。
数列与不等式的综合问题突破策略 类型1：求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f (x )在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f (x )≥M 恒成立?f (x )min ≥M ；f (x )≤M 恒成立?f (x )max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【题1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞ 1231111 n a a a a ++++……恒成立的正整数n 的范围. 【题1】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1. 由等比数列的性质知数列{ 1n a }是以11a 为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须1(1)1n a q q --＞111(1) 11n a q q --，把a 2 1＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q (1－1n q )， q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值范围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【题2】设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n +1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（2）若a n +1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【题2】 第（1）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n +1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f (n )恒成立等价于a ≤f (n )min 求解． 【解】 (1)依题意，S n +1－S n ＝a n +1＝S n ＋3n ，即S n +1＝2S n ＋3n ， 由此得S n +1－3 n +1＝2(S n －3n )． 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N *, ① (2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2， a n +1－a n ＝4×3 n -1＋(a －3)2 n -2＝2 n -2·[12·(32 )n -2 ＋a －3]， 当n ≥2时，a n +1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32 )n -2 ＋a －3≥0， ∴a ≥－9， 综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞) 【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 类型2：数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【题3】 数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p +q ＜1 2 (S 2p ＋S 2q )． 【题3】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(1)小题；第(2)小题利用差值比较法就可顺利解决. 【解】 （1）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，??? a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得??? a 1＝3 d ＝2 ，
数列与不等式专题练习 一、选择题 1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．2 1 4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113 -是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A ．513 B ．512 C ．510 D ．8 225 6．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 8．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 9．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ） A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)2 51,251(++- 10．在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对 11．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．都不对 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+
第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式 等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ； 等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162
2017高考数列与不等式 1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件 33, 1, 0, x y x y y +≤ ? ? -≥ ? ?≥ ? 则z=x+y的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3 2.【2017课标II，文7】设,x y满足约束条件 2+330 2330 30 x y x y y -≤ ? ? -+≥ ? ?+≥ ? ,则2 z x y =+的最小值是 A.15 - B.9- C.1 D 9 3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ，则z x y =-的取值范围是（） A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 4.【2017北京，文4】若,x y满足 3, 2, , x x y y x ≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? 错误！未找到引用源。则2 x y +的最大值为 （A）1（B）3 （C）5 （D）9 5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件 250 30 2 x y x y -+≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? ,则z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.【2017浙江，4】若x，y满足约束条件 30 20 x x y x y ≥ ? ? +-≥ ? ?-≤ ? ，则y x z2 + =的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6，)∞ +D．[4，)∞ + 7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
数列与不等式的综合问题
数列与不等式的综合问题 测试时间：120分钟 满分：150 分 解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为 q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2 b 2 . (1)求a n 与b n ； (2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2 3 . 解 (1)设{a n }的公差为d ，因为 ???? ? b 2＋S 2＝12，q ＝S 2 b 2 ，
所以? ???? q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d q .解得q ＝3或q ＝ －4(舍)，d ＝3.(4分) 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1 .(6分) (2)证明：因为S n ＝ n 3＋3n 2 ，(8分) 所以1 S n ＝2n 3＋3n ＝23? ?? ??1 n － 1n ＋1.(10分) 故1 S 1＋1 S 2＋…＋1 S n ＝ 23???? ??? ????1－12＋? ????12－13＋? ???? 13－14＋…＋? ????1n －1n ＋1 ＝23? ? ???1－ 1n ＋1.(12分) 因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是1 2≤1－ 1 n ＋1 <1，
所以13≤23? ? ???1－ 1n ＋1<23， 即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2 3 .(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1 ，n ∈N *. (1)求证：数列???? ?? 1a n －1为等比数列； (2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1 a n ，若S n <100，求最 大正整数n . 解 (1)证明：因为1 a n ＋1＝23＋1 3a n ， 所以1 a n ＋1－1＝13a n －13＝13? ?? ??1 a n －1. 又因为1a 1－1≠0，所以1 a n －1≠0(n ∈N * )， 所以数列???? ?? 1a n －1为等比数列．(7分)
数列与不等式的题型分类.解题策略 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x∈D 时，有f(x)≥M 恒成立f(x)min ≥M；f(x)≤M 恒成立f(x)max ≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1 a n 恒成立的正整数n 的取值范围. 【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2 ＝a 1q 23 ，∴a 1q 9 ＝1. 由等比数列的性质知：数列{1a n }是以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须a 1(q n －1)q －1＞1a 1[1－(1q )n ]1－1q ，把a 21＝q 18代入上式并整理，得q 18(q n －1)＞q(1－1q n )， q n ＞q 19 ，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数n 的取值范围是n≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n∈N*．(Ⅰ) 设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n∈N*，求a 的取值范围． 【分析】 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min 求解． 【解】 (Ⅰ)依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n ，
关于导数与数列型不等式的解法 导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点。本文就2014年高考陕西理数第21题谈起，总结解决此类问题的一般思路和方法。 例1 （2014年高考陕西卷 理21）设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数. （1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明. 解：（1）)1ln( )(x x f += ，)(')(x xf x g =，0≥x ，x x f +=∴11)('，x x x g +=1)(， )()(1x g x g = ，))(()(1x g g x g n n =+，x x x g +=1)(∴1，x x x x x x x g 21111)(2+=+++=， 假设当1≥k n =时，kx x x g k +=1)(，则x k x kx x kx x x g k )1(1111)(1++=+++=+ ∴当1+=k n 时，x k x x g k )1(1)(1++=+也成立.综上，nx x x g n +=1)(，+N n ∈ （2）)(≥)(x ag x f ，x x x g += 1)(，0≥1)1ln(∴x ax x +-+，0≥x . 令x ax x x h +-+=1)1ln()(，0≥x ，易知0)0(=h ，则22) 1(1)1()1(11)('x a x x x x a x x h +-+=+-+-+=，0≥x . 当1≤a 时，0)('≥x h 在0≥x 上恒成立，∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥h x h ，满足条件； 当1>a 时，令0)('>x h ，解得1->a x ，令0)('+++ ，证明如下： 要证)1ln()113121(13221)()2()1(+->++++-=++++= +++x n n n n n n g g g ， 只需证)1ln()1 1312 1(+<++++n n . 在（2）中取1=a ，可得x x x +>+1)1ln(，0>x ， 令n x 1=，*N n ∈，则n n n +>+11)1ln(，
专题1.4 数列与不等式 总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______ 一、选择题（12*5=60分） 一、单选题 1．【2018届四川省成都外国语学校高三11 月月考】已知全集为R ,集合 2{|0.51},{|680}x A x B x x x =≤=-+≤,则C A B ?=R A. (],0∞- B. []2,4 C. [)()0,24,∞?+ D. ][() 0,24,∞?+ 【答案】C 2．在等比数列{}n a 中,151,4a a =-=-,则3a = A. 2± B. 2± C. 2 D. 2- 【答案】D 【解析】由等比数列的性质可得2 3154a a a ==,因为151,4a a =-=-,所以3 2.a =-选D. 3．【2018届天津市滨海新区大港油田第一中学高三上期中】若a 、b 、c∈R，则下列命题中正确的是（ ） A. 若ac>bc ，则a>b B. 若a 2 >b 2 ，则a>b C. 若 11 a b <，则a>b D. 若a b >，则a>b 【答案】D 【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2 a >2 b ，则|a|>|b|；若11 a b <，则a>b 或a<0，则a>b ，所以选D.
4．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知均为正实数，且，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 5．【2018届北京丰台二中高三上期中】若n S 是数列{} 2n 的前n 项和，则83S S -=（）． A. 504 B. 500 C. 498 D. 496 【答案】D 【解析】83S S - 45678a a a a a =++++ 458222=+++L 163264128256=++++ 496=． 故选D ． 6．关于x y 、的不等式组360, {20, 40, x y x y x y +-≥--≤+-≤则2z x y =+的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】作可行域，如图，则直线2z x y =+过点A （1,3）取最大值7,选C.
专题五 数列不等式专题 【命题趋向】在历年高考中,往往把数列当作重要的内容来考查．在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中,关注概念辨析以及等差、等比数列的“基本量法”;在考查数列的综合问题时,对能力有较高的要求，试题有一定的难度和综合性，常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起，涉及化归与转化、分类与整合等数学思想．在考查相关知识内容的基础上,高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上.使用选择题、填空题形式考查数列的试题,往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法．使用解答题形式考查数列的试题，其内容往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法,并且往往不单一考查数列知识,而是与其他内容相结合,体现对解决综合问题的考查力度．数列综合题有一定的难度，对能力有较高的要求,对合理区分出较高能力的考生起到重要作用.在高考试卷中一般有一个小题有针对性地考查数列的知识和方法，有一道综合解答题重点对数列、数列和函数导数、不等式进行综合考查考查． 由于新课标的考试大纲在必考部分删除了不等式的证明方法，分式不等式、带绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式等内容，高考对不等式的考查主要体现在其和其他知识的交汇考查上,重点是不等式和导数的结合、不等式和数列的结合、不等式和实际问题的结合，不等式与线性规划.高考试卷中一般有１-２个小题考查基本不等式的运用、简单的线性规划,在解答题中与其他知识交汇考查. 【考点透析】数列的主要考点有：数列的概念及其表示,等差数列、等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式，数列的简单应用等.不等式的主要考点有:不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单的线性规划,基本不等式及其应用. 【例题解析】 题型1 数列的一般问题 例1.(2００9江苏泰州期末６)若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则 数列{}n na 中数值最小的项是第 项． 分析：根据数列中n a 与n S 的关系求出n a 后解决. 解析:当1n =时,119a S ==-；当2n ≥时，22110(1)10(1)211n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.可以统一为211n a n =-，故2211n na n n =-，该关于n 的二次函数的对称轴是114 n =,考虑到n 为正整数，且对称轴离3n =较近，故数列{}n na 中数值最小的项是第3项．答案3． 点评:数列问题中其通项公式、前n 项和公式都是关于正整数n 的函数,要善于从函数的观点认识和理解数列问题.数列的一般问题中通项n a 与前n 项和n S 的关系是重点，要注意把1n =和2n ≥分开讨论，再看能不能统一. 例2．（江苏扬州市2０08-２009学年度第一学期期未调研测试第１3题）数列{}n a 的
