数列不等式

数列不等式

1、证明：1/2+1/3+。。。+1/n < lnn 。

无非就是证明1/k=2都成立，这个高中生完全可以搞定.......

尽管这个题的原型是中值定理和积分放缩...

我们有(1+1/n)^n

即1/(n+1)

1/2

再相加,即得

1/2+1/3+...+1/n

1/(n+1)

以上可以用导数来证，更符合教学实际：x/(1+x)<=ln(1+x)<=x

以上讨论可以看出：1。纯数列的要求更高 2。涉及到lnn 的数列不等式应先介绍：用导数证明：x/(1+x)<=ln(1+x)<=x 再应用到数列： 1/(n+1)< ln(1+1/n) <1/n 得到： 1/(n+1)< ln(n+1)-lnn 于是：1/2+1/3+1/4+。。。+1/n < ( ln2-ln1) + (ln3-ln2) + (ln4-ln3) +。。。+ (lnn-ln(n-1)) = lnn

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下面是用n=k为真, 证明n=k+1为真的简略证明:

n=k+1为真等价于

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由Catalan恒等式知

a2n=(1+1/2+1/3+……+1/2n)-2(1/2+1/4+1/6+……+1/2n)=1/(n+1)+1/(n+2)……+1/2n,cn=1+1/2+ 1/3+……1/n-Inn收敛,lim(c2n-cn)=1/(n+1)+1/(n+2)+……1/2n-In(2n/n)=0

a2n=In2>In(2-1/(n+1))

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41、已知数列{}n x 满足1111,,.21

n n x x n N x *+==∈+ （1）猜想数列{}n x 单调性并证明；

（2）证明：1112.65n n n x x -+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭

证（1）由1n+1244n 112513213821x x x x x x ===+==+及得， 由246x x x >>猜想：数列{}2n x 是递减数列

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k 时命题成立，即222k k x x +> 易知20k x >，那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=-=++++ =22222122230(1)(1)(1)(1)

k k k k k k x x x x x x ++++->++++ 即2(1)2(1)2k k x x +++>

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立

（2）当n=1时，12116

n n x x x x +-=-=，结论成立 当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<∴+<=>+ 111115(1)(1)(1)(1)212

n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+ 11111111(1)(1)

n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=++++ 2n -111221n -12225551265n n n n x x x x x x ---≤-≤-≤≤-= （）（）（）