选修4-5三元均值不等式
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2 2 2
a b c a b
b c ab bc ca
2 2
2
b c c a 0 .
2 2
定 理 3 若 a , b .c R , 那 么
abc 3
3
abc ,
当 且 仅 当 a b c时 ， 等 号 成 立 。
3 2
2
a b c ab bc ca 0
2 2 2
问题2
证明
已知a, b, c R, 那么a b c 3abc, 当且仅当a b c时, 等号成立 .
因为 a b c 3 abc
3 2 2 3 3 3 3
3
3
3
a b 3 a b 3 ab c 3 abc
3
1 a
1 b
1 c
33
1 1 1 0 a b c
3
1 1 1 a b c a b c
3 abc 3
3
1 1 1 a b c
9
一、用基本不等式求最值
例２:
(1)当 0 x 1时 , 求函数 y x (1 x )的最大值 .
语言表述：三个正数的算术平 均不小于它们的几何平均。
1.从代数结构（数运算角度）：和与 积的相互转化 ，可用于含和积不等式 的证明。
当 abc =M 或 者 a b c M (M 为 定 值 )时 你能得到什么结论？
2.积定和最小，和定积最大，可用于最 值求解。
在求最值时仍然应该 注意条件：一正，二 定，三相等，缺一不 可
2
3.当 0 x 1时 , 求 函 数 y x (1 x )的 最 大 值 ?
a b c 3 a b 3 ab
3 3 2 2
3 abc
2
a b c a b a b c c
2
a b c a
1 2
3 ab a b c
2
a b c a 2 ab b ac bc c 3 ab
0,
构造三个 数相 乘 等于定值.
y 33 2 x
2
3
3
33
3 4
9 2
2x 2x
当且仅当 2 x
2
3 2x 33
2
即x
36
3
时，上式取等号
y min 3
3
9 2
小结：利用三个正实数的基本不等式求最 值时注意： 1、一正、二定、三相等；缺一不可 2、不能直接利用定理时，注意拆项、配 项凑定值的技巧 （拆项时常拆成两个相同项）。
abc 3
3
abc
如何证明这个猜想呢 ?
类比思想应用
问题2
已知a, b, c R, 那么a b c 3abc, 当且仅当a b c时, 等号成立 .
3
3
3
x y
3
3
x 3 x y 3 xy y
3 2 2
3
x y x y x xy y
2
解: 0
1 x 0, 1 2 y x (1 x ) x x ( 2 2 x ) 2
1 2 ( x x 2 2x 3 )
3
x 1,
构造三 个数相 加等于 定值.
4 27
当 x 2 2 x, x
2 3
时 , y m ax
2
3 x
即x
3
3 2
时 , y m in 2 6 3
乙：y 2x
2
3 x
2x
2
1 x
2 x
(错解原因是
y 33 2 x
2
1 x
2 x
33 4
等号取不到)
丙：
y 2x
2
3 x
2x
2
3 2x
3 2x
x 0
2 x 0,
2
3 2x
y min 9
2 函 数 y x (2 x )(0 x
4 2
2 )的 最 大 值 ？
解：y x
4
2 x
2
1 2
x x 4 2x
2 2
2 2 2
2
1 x x 4 2x 32 2 3 27
2 3 y m ax 32 27 3
3.推广
a1 a 2 a n n
≥
n
a1 a 2 a n
当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．
一、用基本不等式证明不等式
例：已知 a , b , c R ,
1 1 1 求证： a b c 9 a b c
证明： a , b , c R , a b c 3 abc 0
3
当且仅当x
2
Байду номын сангаас
4 2 x ,即 x
2
1 .若 a 2, b 3, 则 a b
1 ( a 2 )( b 3)
3
的最小值为
8 __
2
2 、 若 x , y R , xy 4 则 x 2 y的 最 小 值 是 _ _4 3 x y的 最 小 值 是 3_ _
2012.10.7 星期日
定 理（ 重 要 不 等 式 ） a b 2 a b ( a , b R ) 1
2 2
令
a a,
b b
ab 2
定 理 2 均 值 不 等 式
ab
a b 2 ab
上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想
问题1
基本不等式给出了两个正数数的算术 平均数与几何平均数的关系，这个不等式 能否推广呢？例如，对于3个正数，会有 怎样的不等式成立呢？
课 堂 小 结
不三 等个 式正 数 算 数
几 何 平 均 数
证明
应用
——
求最值
二个重要的数学思想
一般到特殊的思想 类比的思想
课后探讨
1 .若 a , b R 且 a b , 则 a
2 .函 数 y 4 x
2
1 ( a b )b
__
16 ( x 1)
2 2
的最小值?
难点强化
1、函数 y 3 x 12 x
2
( x 0 )的最小值是
（ C）
A、6
6 B、
6
C、9
2
D、12
12 x
2
解 析 ： y 3x
12 x
3x 2
3x 2
3 x 3 x 12 33 2 9 2 2 x
当且仅当
3x 2
12 x
2
即 x 3时上式取等号
4 27
.
（2） 求函数 y 2 x ( x 0 ) 的最小值．下 x 面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由
2
3
甲：由 x
0
2
知
3 x
2x
2
0,
2
3 x
，则 0
(错解原因是
y 2x
2 2x
3 x
2 6x
不满足积定)
3 2 2 3 18
当 且 仅 当2x
a b c a b
b c ab bc ca
2 2
2
b c c a 0 .
2 2
定 理 3 若 a , b .c R , 那 么
abc 3
3
abc ,
当 且 仅 当 a b c时 ， 等 号 成 立 。
3 2
2
a b c ab bc ca 0
2 2 2
问题2
证明
已知a, b, c R, 那么a b c 3abc, 当且仅当a b c时, 等号成立 .
因为 a b c 3 abc
3 2 2 3 3 3 3
3
3
3
a b 3 a b 3 ab c 3 abc
3
1 a
1 b
1 c
33
1 1 1 0 a b c
3
1 1 1 a b c a b c
3 abc 3
3
1 1 1 a b c
9
一、用基本不等式求最值
例２:
(1)当 0 x 1时 , 求函数 y x (1 x )的最大值 .
语言表述：三个正数的算术平 均不小于它们的几何平均。
1.从代数结构（数运算角度）：和与 积的相互转化 ，可用于含和积不等式 的证明。
当 abc =M 或 者 a b c M (M 为 定 值 )时 你能得到什么结论？
2.积定和最小，和定积最大，可用于最 值求解。
在求最值时仍然应该 注意条件：一正，二 定，三相等，缺一不 可
2
3.当 0 x 1时 , 求 函 数 y x (1 x )的 最 大 值 ?
a b c 3 a b 3 ab
3 3 2 2
3 abc
2
a b c a b a b c c
2
a b c a
1 2
3 ab a b c
2
a b c a 2 ab b ac bc c 3 ab
0,
构造三个 数相 乘 等于定值.
y 33 2 x
2
3
3
33
3 4
9 2
2x 2x
当且仅当 2 x
2
3 2x 33
2
即x
36
3
时，上式取等号
y min 3
3
9 2
小结：利用三个正实数的基本不等式求最 值时注意： 1、一正、二定、三相等；缺一不可 2、不能直接利用定理时，注意拆项、配 项凑定值的技巧 （拆项时常拆成两个相同项）。
abc 3
3
abc
如何证明这个猜想呢 ?
类比思想应用
问题2
已知a, b, c R, 那么a b c 3abc, 当且仅当a b c时, 等号成立 .
3
3
3
x y
3
3
x 3 x y 3 xy y
3 2 2
3
x y x y x xy y
2
解: 0
1 x 0, 1 2 y x (1 x ) x x ( 2 2 x ) 2
1 2 ( x x 2 2x 3 )
3
x 1,
构造三 个数相 加等于 定值.
4 27
当 x 2 2 x, x
2 3
时 , y m ax
2
3 x
即x
3
3 2
时 , y m in 2 6 3
乙：y 2x
2
3 x
2x
2
1 x
2 x
(错解原因是
y 33 2 x
2
1 x
2 x
33 4
等号取不到)
丙：
y 2x
2
3 x
2x
2
3 2x
3 2x
x 0
2 x 0,
2
3 2x
y min 9
2 函 数 y x (2 x )(0 x
4 2
2 )的 最 大 值 ？
解：y x
4
2 x
2
1 2
x x 4 2x
2 2
2 2 2
2
1 x x 4 2x 32 2 3 27
2 3 y m ax 32 27 3
3.推广
a1 a 2 a n n
≥
n
a1 a 2 a n
当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．
一、用基本不等式证明不等式
例：已知 a , b , c R ,
1 1 1 求证： a b c 9 a b c
证明： a , b , c R , a b c 3 abc 0
3
当且仅当x
2
Байду номын сангаас
4 2 x ,即 x
2
1 .若 a 2, b 3, 则 a b
1 ( a 2 )( b 3)
3
的最小值为
8 __
2
2 、 若 x , y R , xy 4 则 x 2 y的 最 小 值 是 _ _4 3 x y的 最 小 值 是 3_ _
2012.10.7 星期日
定 理（ 重 要 不 等 式 ） a b 2 a b ( a , b R ) 1
2 2
令
a a,
b b
ab 2
定 理 2 均 值 不 等 式
ab
a b 2 ab
上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想
问题1
基本不等式给出了两个正数数的算术 平均数与几何平均数的关系，这个不等式 能否推广呢？例如，对于3个正数，会有 怎样的不等式成立呢？
课 堂 小 结
不三 等个 式正 数 算 数
几 何 平 均 数
证明
应用
——
求最值
二个重要的数学思想
一般到特殊的思想 类比的思想
课后探讨
1 .若 a , b R 且 a b , 则 a
2 .函 数 y 4 x
2
1 ( a b )b
__
16 ( x 1)
2 2
的最小值?
难点强化
1、函数 y 3 x 12 x
2
( x 0 )的最小值是
（ C）
A、6
6 B、
6
C、9
2
D、12
12 x
2
解 析 ： y 3x
12 x
3x 2
3x 2
3 x 3 x 12 33 2 9 2 2 x
当且仅当
3x 2
12 x
2
即 x 3时上式取等号
4 27
.
（2） 求函数 y 2 x ( x 0 ) 的最小值．下 x 面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由
2
3
甲：由 x
0
2
知
3 x
2x
2
0,
2
3 x
，则 0
(错解原因是
y 2x
2 2x
3 x
2 6x
不满足积定)
3 2 2 3 18
当 且 仅 当2x